1. Um tubo capilar de raio 1 mm é inserido em água. Sabendo que a tensão superficial da água é 0,072 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e que o ângulo de contato é zero, determine a altura aproximada de ascensão capilar.
    (Dado: \gamma=9.810 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3} )

Passo 1

O enunciado pede: determinar a altura de ascensão capilar de água num tubo capilar de raio 1\\ \text{mm}, dado que a tensão superficial da água é \sigma=0,072\\ \mathrm{N}/\mathrm{m} e o ângulo de contato é zero. Também foi fornecido o valor \gamma (peso específico) como \gamma=9{,}810\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{3} (interpreto isso como o valor usual do peso específico da água \gamma=\rho g, que é \gamma=9810\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{3}; a forma mais prática será usar \gamma=9810\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{3}).
Lista de dados (peguei todos do enunciado):
  • raio do tubo: r=1\\ \text{mm}=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m},
  • tensão superficial: \sigma=0,072\\ \mathrm{N}/\mathrm{m},
  • ângulo de contato: \theta=0 (logo \cos\theta=1),
  • peso específico da água: \gamma=\rho g\approx9810\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{3}.
O que se pede: calcular a altura de ascensão capilar h.

Passo 2

Vou explicar a ideia física e a fórmula que usamos (passo-a-passo, como se fosse na prova).
Conceito: a superfície curva do menisco cria uma diferença de pressão entre o interior e o exterior do líquido devido à tensão superficial. Essa diferença de pressão fica equilibrada pelo peso do líquido que sobe no tubo (pressão hidrostática).
  1. Salto de pressão devido à curvatura (fórmula de Laplace, forma usada aqui): a diferença de pressão através de um menisco aproximadamente esférico é
\Delta p=\frac{2\sigma}{R_m},
onde \sigma é a tensão superficial e R_m é o raio de curvatura da superfície (menisco).
  1. Geometria do menisco num tubo circular: para um líquido que molha totalmente a parede ( \theta=0), o raio de curvatura do menisco relaciona-se com o raio do tubo por uma relação que leva a
\frac{2\sigma}{R_m}=\frac{2\sigma\cos\theta}{r}.
Explicando em palavras: a componente vertical da força de tensão superficial sobre a circunferência do tubo é proporcional a \cos\theta; para \theta=0 essa componente é máxima e substitui R_m por r/\cos\theta, resultando na forma \dfrac{2\sigma\cos\theta}{r}.
  1. Equilíbrio com pressão hidrostática: a pressão hidrostática gerada pela coluna de altura h é
\Delta p_{\text{hidro}}=\gamma h,
onde \gamma=\rho g é o peso específico do fluido ( \mathrm{N}/\mathrm{m}^{3}) e h é a altura procurada.
  1. Igualando as pressões (equilíbrio estático):
\gamma h=\frac{2\sigma\cos\theta}{r}.
  1. Isolando h:
h=\frac{2\sigma\cos\theta}{r\gamma}.
Aqui cada símbolo significa:
  • h: altura de ascensão capilar (m),
  • \sigma: tensão superficial (N/m),
  • \theta: ângulo de contato (rad ou grau), \cos\theta adimensional,
  • r: raio do tubo (m),
  • \gamma: peso específico do fluido (N/m^3), \gamma=\rho g.

Passo 3

Agora aplico a fórmula com os números do enunciado.
Escrevendo a fórmula:
h=\frac{2\sigma\cos\theta}{r\gamma}.
Substituindo \cos\theta=1, \sigma=0,072\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}, r=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m} e \gamma=9810\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{3}:
h=\frac{2\cdot0{,}072\cdot 1}{(1\times10^{-3})\cdot9810}.
Faço as contas passo a passo:
  • Numerador: 2\cdot0{,}072=0{,}144.
  • Denominador: (1\times10^{-3})\cdot9810=9{,}81.
    Portanto
h=\frac{0{,}144}{9{,}81}\approx0{,}01468\\ \mathrm{m}.
Convertendo para unidades mais familiares:
h\approx0{,}01468\\ \mathrm{m}=1{,}468\\ \mathrm{cm}\approx1{,}47\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Interpretação rápida e dica de prova:
  • O resultado é da ordem de centímetros para um tubo de 1\\ \text{mm}. Note que h varia inversamente com r: tubos mais finos => ascensão maior.
  • Fórmula prática para lembrar: \displaystyle h\approx\frac{2\sigma}{\rho g r} (quando \theta=0).
  • Num exercício de prova, sempre verifique unidades (converter mm para m) e usar \gamma=\rho g se te der \rho e g em separado.

Resposta

h\approx0{,}0147\\ \mathrm{m}\approx1{,}47\\ \mathrm{cm}