Um tubo em forma de “U” contém água (densidade
). Em seguida, adiciona-se óleo (densidade
) em um dos ramos, formando uma coluna de 20 cm de altura, sem que o óleo se misture com a água.
Utilizando o Teorema de Stevin, determine a diferença de altura (
) entre a superfície livre do óleo e a superficie livre da água no outro ramo.
Utilizando o Teorema de Stevin, determine a diferença de altura (
Passo 1
O enunciado pede para determinar a diferença de altura entre a superfície livre do óleo e a superfície livre da água no outro ramo do tubo em U. Informações dadas:
- Densidade da água:
. - Densidade do óleo:
. - Altura da coluna de óleo num dos ramos:
. - O óleo não se mistura com a água.
- Quer-se
: diferença vertical entre a superfície livre do óleo e a superfície livre da água no ramo oposto.
Passo 2
Princípio que vamos usar (Teorema de Stevin, em palavras): em equilíbrio estático, a diferença de pressão entre dois pontos em um mesmo fluido em equilíbrio é dada por
, onde:
Aqui:
-
é a pressão a uma certa profundidade; -
é a pressão na superfície livre (normalmente a pressão atmosférica); -
é a densidade do fluido; -
é a aceleração da gravidade; -
é a profundidade vertical medida a partir da superfície livre até o ponto considerado.
Uma consequência prática: escolhendo dois pontos do mesmo nível horizontal no fundo do U (ponto comum às duas colunas), as pressões nesses pontos (vindas de cada ramo) devem ser iguais em equilíbrio.
Passo 3
Definir alturas relativas (esquema mental):
- No ramo direito (só água): altura da coluna de água desde o fundo comum até a superfície livre =
. - No ramo esquerdo (água sob o óleo): altura da coluna de água desde o fundo comum até a interface água–óleo =
. - Altura da coluna de óleo acima da interface =
.
Pressão no fundo (mesmo nível) vindo do ramo direito:
Pressão no mesmo nível vindo do ramo esquerdo (passando pela água até a interface e depois pelo óleo):
Em equilíbrio essas pressões são iguais. Cancelando
e fator comum
, obtemos:
Passo 4
Isolar a diferença entre as alturas das colunas de água:
Agora escrevemos a diferença pedida
entre a superfície livre do óleo e a superfície livre da água no outro ramo. A altura da superfície do óleo (medida a partir do fundo comum) é
. A altura da superfície da água no ramo direito é
. Portanto:
Substituindo a relação anterior:
Passo 5
Calcular numericamente. Primeiro, manter unidades coerentes: usar metros ou centímetros dando consistência. Vou usar centímetros para ficar direto com
e densidades relativas (razão adimensional):
Passo 6
Interpretação e comentário prático:
significa que a superfície livre do óleo está
acima da superfície livre da água no ramo oposto. Observação intuitiva: como o óleo é mais leve, ele exerce menos pressão por altura, então para equilibrar a pressão no fundo a água do outro ramo sobe menos do que a altura do óleo, resultando na superfície do óleo ficando acima da superfície da água do outro lado.