Um tubo em forma de “U” contém água (densidade \rho_{\text {âgua }}=1,0 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}â ). Em seguida, adiciona-se óleo (densidade \rho_{\text {óleo }}=0,8 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}ó ) em um dos ramos, formando uma coluna de 20 cm de altura, sem que o óleo se misture com a água.
Utilizando o Teorema de Stevin, determine a diferença de altura ( \Delta h ) entre a superfície livre do óleo e a superficie livre da água no outro ramo.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a diferença de altura entre a superfície livre do óleo e a superfície livre da água no outro ramo do tubo em U. Informações dadas:
  • Densidade da água: \rho_{\text{água}} = 1{,}0\\ \mathrm{g/cm^3}á.
  • Densidade do óleo: \rho_{\text{óleo}} = 0{,}8\\ \mathrm{g/cm^3}ó.
  • Altura da coluna de óleo num dos ramos: h_{\text{óleo}} = 20\\ \mathrm{cm}ó.
  • O óleo não se mistura com a água.
  • Quer-se \Delta h: diferença vertical entre a superfície livre do óleo e a superfície livre da água no ramo oposto.

Passo 2

Princípio que vamos usar (Teorema de Stevin, em palavras): em equilíbrio estático, a diferença de pressão entre dois pontos em um mesmo fluido em equilíbrio é dada por \Delta p = \rho g \Delta z, onde:
p = p_0 + \rho g h.
Aqui:
  • p é a pressão a uma certa profundidade;
  • p_0 é a pressão na superfície livre (normalmente a pressão atmosférica);
  • \rho é a densidade do fluido;
  • g é a aceleração da gravidade;
  • h é a profundidade vertical medida a partir da superfície livre até o ponto considerado.
    Uma consequência prática: escolhendo dois pontos do mesmo nível horizontal no fundo do U (ponto comum às duas colunas), as pressões nesses pontos (vindas de cada ramo) devem ser iguais em equilíbrio.

Passo 3

Definir alturas relativas (esquema mental):
  • No ramo direito (só água): altura da coluna de água desde o fundo comum até a superfície livre = H_R.
  • No ramo esquerdo (água sob o óleo): altura da coluna de água desde o fundo comum até a interface água–óleo = H_{wL}.
  • Altura da coluna de óleo acima da interface = h_{\text{óleo}} = 20\\ \mathrm{cm}ó.
    Pressão no fundo (mesmo nível) vindo do ramo direito:
p_{\text{fundo, direita}} = p_{\text{atm}} + \rho_{\text{água}} g H_R.á
Pressão no mesmo nível vindo do ramo esquerdo (passando pela água até a interface e depois pelo óleo):
p_{\text{fundo, esquerda}} = p_{\text{atm}} + \rho_{\text{água}} g H_{wL} + \rho_{\text{óleo}} g h_{\text{óleo}}.áóó
Em equilíbrio essas pressões são iguais. Cancelando p_{\text{atm}} e fator comum g, obtemos:
\rho_{\text{água}} H_R = \rho_{\text{água}} H_{wL} + \rho_{\text{óleo}} h_{\text{óleo}}.ááóó

Passo 4

Isolar a diferença entre as alturas das colunas de água:
H_R - H_{wL} = \frac{\rho_{\text{óleo}}}{\rho_{\text{água}}}\,h_{\text{óleo}}.óáó
Agora escrevemos a diferença pedida \Delta h entre a superfície livre do óleo e a superfície livre da água no outro ramo. A altura da superfície do óleo (medida a partir do fundo comum) é H_{wL}+h_{\text{óleo}}ó. A altura da superfície da água no ramo direito é H_R. Portanto:
\Delta h = \text{(superfície do óleo)} - \text{(superfície da água direita)}íóíá
\Delta h = (H_{wL}+h_{\text{óleo}}) - H_R = h_{\text{óleo}} - (H_R - H_{wL}).óó
Substituindo a relação anterior:
\Delta h = h_{\text{óleo}} - \frac{\rho_{\text{óleo}}}{\rho_{\text{água}}}\,h_{\text{óleo}} = h_{\text{óleo}}\left(1 - \frac{\rho_{\text{óleo}}}{\rho_{\text{água}}}\right).óóáóóóá

Passo 5

Calcular numericamente. Primeiro, manter unidades coerentes: usar metros ou centímetros dando consistência. Vou usar centímetros para ficar direto com h_{\text{óleo}}=20\\ \mathrm{cm}ó e densidades relativas (razão adimensional):
\Delta h = 20\\ \mathrm{cm}\left(1 - \frac{0{,}8}{1{,}0}\right) = 20\\ \mathrm{cm}\times(1 - 0{,}8) = 20\\ \mathrm{cm}\times 0{,}2 = 4{,}0\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Interpretação e comentário prático: \Delta h = 4{,}0\\ \mathrm{cm} significa que a superfície livre do óleo está 4{,}0\\ \mathrm{cm} acima da superfície livre da água no ramo oposto. Observação intuitiva: como o óleo é mais leve, ele exerce menos pressão por altura, então para equilibrar a pressão no fundo a água do outro ramo sobe menos do que a altura do óleo, resultando na superfície do óleo ficando acima da superfície da água do outro lado.

Resposta

\Delta h = 4{,}0\\ \mathrm{cm} (a superfície do óleo está 4{,}0\\ \mathrm{cm} acima da superfície da água).