Two sources of light that both have wavelengths equal to 700 nm are separated by a horizontal distance
. They are 5.00 m from a vertical slit of width 0.500 mm . What is the smallest value of
for which the diffraction pattern of the sources can be resolved by Rayleigh’s criterion?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Comprimento de onda das fontes:
. - Distância das fontes até a fenda:
. - Largura da fenda (horizontal):
. - As duas fontes estão separadas horizontalmente por uma distância
(que queremos determinar).
- Comprimento de onda das fontes:
-
Pergunta:
- Qual é o menor valor de
para que os padrões de difração das duas fontes sejam resolvidos segundo o critério de Rayleigh?
- Qual é o menor valor de
Passo 2
Entender a difração por uma fenda única e a posição do primeiro mínimo.
- A condição para mínimos na difração por fenda única é dada por
onde:
-
é a largura da fenda (em metros), -
é o ângulo medido a partir do eixo central (em radianos), -
é um inteiro não nulo que indica a ordem do mínimo ( ), -
é o comprimento de onda (em metros). -
O primeiro mínimo (mais próximo do máximo central) corresponde a
, portanto a posição angular do primeiro mínimo satisfaz
Passo 3
Explicar o critério de Rayleigh aplicado à fenda.
- O critério de Rayleigh diz (de forma intuitiva) que duas fontes são apenas resolvidas quando o máximo central da imagem de uma coincide com o primeiro mínimo da outra.
- Para uma fenda única isso implica que a separação angular mínima entre as duas fontes é aproximadamente
isto é,
- Para pequenos ângulos (caso típico aqui) podemos usar a aproximação
em radianos, ficando
Passo 4
Relacionar separação angular com separação linear
entre as fontes.
- As fontes estão a uma distância
da fenda; a separação angular entre elas, vista da fenda, está relacionada com a separação linear por
quando
é pequena (medida em radianos). Aqui usamos a aproximação geométrica do pequeno ângulo.
- Portanto, impondo a condição de resolvabilidade
, obtemos
ou
Passo 5
Verificar que a aproximação de pequeno ângulo é válida (checagem rápida).
- Calcular a ordem de grandeza de
:
Vou calcular isso passo a passo:
- Logo
, que é um ângulo pequeno (aproximadamente ), portanto a aproximação é adequada.
Passo 6
Calcular
numericamente.
- Usando a fórmula
substituindo os valores (usando vírgula decimal conforme pedido):
- Calcule a razão já obtida no passo anterior:
- Então
- Converter para milímetros:
Passo 7
Interpretação final e incentivo curto.
- O menor valor de
para que as duas fontes sejam resolvidas segundo Rayleigh é . - Boa! Isso significa que, se as duas fontes estiverem separadas por menos que isso, seus máximos centrais na distribuição de difração pela fenda irão sobrepor demais e não serão distinguíveis; se estiverem com essa separação ou mais, dá para resolver.