Two sources of light that both have wavelengths equal to 700 nm are separated by a horizontal distance x. They are 5.00 m from a vertical slit of width 0.500 mm . What is the smallest value of x for which the diffraction pattern of the sources can be resolved by Rayleigh’s criterion?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Comprimento de onda das fontes: \lambda = 700\\ \text{nm} = 700\times10^{-9}\\ \text{m}.
    • Distância das fontes até a fenda: L = 5{,}00\\ \text{m}.
    • Largura da fenda (horizontal): a = 0{,}500\\ \text{mm} = 0{,}500\times10^{-3}\\ \text{m}.
    • As duas fontes estão separadas horizontalmente por uma distância x (que queremos determinar).
  • Pergunta:
    • Qual é o menor valor de x para que os padrões de difração das duas fontes sejam resolvidos segundo o critério de Rayleigh?

Passo 2

Entender a difração por uma fenda única e a posição do primeiro mínimo.
  • A condição para mínimos na difração por fenda única é dada por
a\sin\theta = m\lambda,
onde:
  • a é a largura da fenda (em metros),
  • \theta é o ângulo medido a partir do eixo central (em radianos),
  • m é um inteiro não nulo que indica a ordem do mínimo ( m=\pm1,\pm2,\dots),
  • \lambda é o comprimento de onda (em metros).
  • O primeiro mínimo (mais próximo do máximo central) corresponde a m=1, portanto a posição angular do primeiro mínimo satisfaz
\sin\theta_1 = \frac{\lambda}{a}.

Passo 3

Explicar o critério de Rayleigh aplicado à fenda.
  • O critério de Rayleigh diz (de forma intuitiva) que duas fontes são apenas resolvidas quando o máximo central da imagem de uma coincide com o primeiro mínimo da outra.
  • Para uma fenda única isso implica que a separação angular mínima entre as duas fontes é aproximadamente
\theta_{\min} \approx \theta_1,
isto é,
\theta_{\min} \approx \arcsin\!\left(\frac{\lambda}{a}\right).
  • Para pequenos ângulos (caso típico aqui) podemos usar a aproximação \sin\theta\approx\theta em radianos, ficando
\theta_{\min} \approx \frac{\lambda}{a}.

Passo 4

Relacionar separação angular com separação linear x entre as fontes.
  • As fontes estão a uma distância L da fenda; a separação angular \theta entre elas, vista da fenda, está relacionada com a separação linear x por
\theta \approx \frac{x}{L},
quando \theta é pequena (medida em radianos). Aqui usamos a aproximação geométrica do pequeno ângulo.
  • Portanto, impondo a condição de resolvabilidade \theta = \theta_{\min}, obtemos
\frac{x_{\min}}{L} \approx \frac{\lambda}{a}
ou
x_{\min} \approx L\,\frac{\lambda}{a}.

Passo 5

Verificar que a aproximação de pequeno ângulo é válida (checagem rápida).
  • Calcular a ordem de grandeza de \theta_{\min}:
\frac{\lambda}{a} = \frac{700\times10^{-9}}{0{,}500\times10^{-3}}.
Vou calcular isso passo a passo:
\frac{700\times10^{-9}}{0{,}500\times10^{-3}} = \frac{700}{0{,}500}\times10^{-9+3} = 1400\times10^{-6} = 1{,}40\times10^{-3}.
  • Logo \theta_{\min}\approx 1{,}40\times10^{-3}\\ \text{rad}, que é um ângulo pequeno (aproximadamente 0{,}08^\circ), portanto a aproximação \sin\theta\approx\theta é adequada.

Passo 6

Calcular x_{\min} numericamente.
  • Usando a fórmula
x_{\min} = L\,\frac{\lambda}{a},
substituindo os valores (usando vírgula decimal conforme pedido):
L = 5{,}00\\ \text{m},\qquad \lambda = 700\times10^{-9}\\ \text{m},\qquad a = 0{,}500\times10^{-3}\\ \text{m}.
  • Calcule a razão já obtida no passo anterior:
\frac{\lambda}{a} = 1{,}40\times10^{-3}.
  • Então
x_{\min} = 5{,}00\times\left(1{,}40\times10^{-3}\right)=7{,}00\times10^{-3}\\ \text{m}.
  • Converter para milímetros:
7{,}00\times10^{-3}\\ \text{m} = 7{,}00\\ \text{mm}.

Passo 7

Interpretação final e incentivo curto.
  • O menor valor de x para que as duas fontes sejam resolvidas segundo Rayleigh é 7{,}00\\ \text{mm}.
  • Boa! Isso significa que, se as duas fontes estiverem separadas por menos que isso, seus máximos centrais na distribuição de difração pela fenda irão sobrepor demais e não serão distinguíveis; se estiverem com essa separação ou mais, dá para resolver.

Resposta

x_{\min}=7{,}00\times10^{-3}\\ \text{m}=7{,}00\\ \text{mm}