(Uece) Duas únicas forças, uma de 3 N e outra de 4 N , atuam sobre uma massa puntiforme. Sobre o módulo da aceleração dessa massa, é correto afirmarse que
a) é o menor possível se os dois vetores força forem perpendiculares entre si.
b) é o maior possível se os dois vetores força tiverem mesma direção e mesmo sentido.
c) é o maior possível se os dois vetores força tiverem mesma direção e sentidos contrários.
d) é o menor possível se os dois vetores força tiverem mesma direção e mesmo sentido.

Passo 1

O enunciado dá duas forças que atuam sobre uma massa puntiforme, com módulos 3\\ \text{N} e 4\\ \text{N}. Pede para determinar qual das afirmações abaixo sobre o módulo da aceleração é correta:
a) é o menor possível se os dois vetores força forem perpendiculares entre si.
b) é o maior possível se os dois vetores força tiverem mesma direção e mesmo sentido.
c) é o maior possível se os dois vetores força tiverem mesma direção e sentidos contrários.
d) é o menor possível se os dois vetores força tiverem mesma direção e mesmo sentido.
Informações relevantes fornecidas:
  • Módulos das forças: F_1=3\\ \text{N} e F_2=4\\ \text{N}.
  • Direção e sentido relativo entre as forças podem variar (ângulo entre elas \theta arbitrário).
  • A massa da partícula não é dada.

Passo 2

Lembrando a relação fundamental que vamos usar: a segunda lei de Newton. A resultante das forças é
\vec{F}_{\text{res}}=\vec{F}_1+\vec{F}_2,
e a aceleração é
\vec{a}=\frac{\vec{F}_{\text{res}}}{m},
onde m é a massa (positiva). Isso significa que o módulo da aceleração |\vec{a}| é proporcional ao módulo da força resultante |\vec{F}_{\text{res}}|:
|\vec{a}|=\frac{|\vec{F}_{\text{res}}|}{m}.
Como m>0 é constante, comparar quais configurações produzem maior ou menor aceleração é equivalente a comparar os valores de |\vec{F}_{\text{res}}| para as diferentes orientações relativas das forças.

Passo 3

Para duas forças de módulos F_1 e F_2 com ângulo entre elas \theta, o módulo da resultante vem da lei dos cossenos (ou da soma vetorial por componentes):
|\vec{F}_{\text{res}}|=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\cos\theta},
onde \theta é o ângulo entre \vec{F}_1 e \vec{F}_2 e \cos\theta\in[-1,1].

Passo 4

Substituindo F_1=3\\ \text{N} e F_2=4\\ \text{N} na fórmula obtemos
|\vec{F}_{\text{res}}|=\sqrt{3^2+4^2+2\cdot3\cdot4\cos\theta}=\sqrt{9+16+24\cos\theta}=\sqrt{25+24\cos\theta}.

Passo 5

Como \cos\theta varia entre -1 e 1, o valor de 25+24\cos\theta atinge o máximo quando \cos\theta=1 e o mínimo quando \cos\theta=-1. Vamos avaliar os casos relevantes mencionados nas alternativas:
  • Mesma direção e mesmo sentido: \theta=0^\circ, então \cos 0^\circ=1.
|\vec{F}_{\text{res}}|_{\theta=0^\circ}=\sqrt{25+24\cdot1}=\sqrt{49}=7\\ \text{N}.
  • Vetores perpendiculares: \theta=90^\circ, então \cos 90^\circ=0.
|\vec{F}_{\text{res}}|_{\theta=90^\circ}=\sqrt{25+24\cdot0}=\sqrt{25}=5\\ \text{N}.
  • Mesma direção e sentidos contrários: \theta=180^\circ, então \cos 180^\circ=-1.
|\vec{F}_{\text{res}}|_{\theta=180^\circ}=\sqrt{25+24\cdot(-1)}=\sqrt{1}=1\\ \text{N}.

Passo 6

Comparando os valores:
  • Para \theta=0^\circ (mesmo sentido): 7\\ \text{N} — maior valor possível.
  • Para \theta=90^\circ (perpendiculares): 5\\ \text{N} — valor intermediário.
  • Para \theta=180^\circ (sentidos contrários): 1\\ \text{N} — menor valor possível.
Portanto, o módulo da aceleração é o maior possível quando as forças têm mesma direção e mesmo sentido, e é o menor possível quando têm mesma direção e sentidos contrários. O caso perpendicular não dá o menor nem o maior; fica no meio.

Passo 7

Agora verificando as alternativas:
  • (a) diz que o menor é quando são perpendiculares — falso (menor é 1\\ \text{N}, no caso oposto).
  • (b) diz que o maior é quando têm mesma direção e mesmo sentido — verdadeiro (resultante 7\\ \text{N}).
  • (c) diz que o maior é quando têm mesma direção e sentidos contrários — falso (nesse caso resultante 1\\ \text{N}, é o menor).
  • (d) diz que o menor é quando têm mesma direção e mesmo sentido — falso (é o maior).
Concluímos que a alternativa correta é a (b).

Resposta

b)