(UERJ) Os intervalos de tempo entre as doses dos medicamentos são calculados para garantir que a concentração plasmática do princípio ativo seja mantida entre um valor mínimo eficaz e um valor máximo seguro.
Para um certo medicamento, o princípio ativo apresenta massa molar de 200 g e sua concentração plasmática reduz-se à metade a cada 8 horas.

PROFESSORA SONIA

O valor mínimo eficaz da concentração plasmática é igual a 1 \times 10^{-5} \mathrm{~mol} \times \mathrm{L}^{-1} e seu valor máximo seguro é de 9,5 \times 10^{-5} \mathrm{~mol} \times \mathrm{L}^{-1}.
A concentração plasmática máxima atingida imediatamente após a ingestão da primeira dose é igual a 16 \mathrm{mg} \times \mathrm{L}^{-1}.
Nessas condições, o intervalo de tempo ideal, em horas, entre a ingestão da primeira e da segunda doses é de:
a) 24
b) 12
c) 6

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Massa molar: \,200\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
    • Meia-vida (tempo de redução à metade): \,8\\ \text{horas}.
    • Concentração mínima eficaz: \,1\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
    • Concentração máxima segura: \,9{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
    • Pico imediato após a 1ª dose: \,16\\ \mathrm{mg\cdot L^{-1}}.
  • Pergunta:
    • Qual o intervalo de tempo ideal, em horas, entre a ingestão da primeira e da segunda doses, considerando as opções: a) 24 b) 12 c) 6?

Passo 2

Primeiro passo prático: converter as concentrações mínima e máxima de \mathrm{mol\cdot L^{-1}} para \mathrm{mg\cdot L^{-1}}, porque o pico dado está em \mathrm{mg\cdot L^{-1}}.
  • A massa molar é \,200\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}} = 200{,}000\\ \mathrm{mg\cdot mol^{-1}} (pois 1\\ \mathrm{g}=1000\\ \mathrm{mg}).
  • Concentração mínima em mg/L: 1\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}\times 200{,}000\\ \mathrm{mg\cdot mol^{-1}}=2\\ \mathrm{mg\cdot L^{-1}}.
  • Concentração máxima segura em mg/L: 9{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}\times 200{,}000\\ \mathrm{mg\cdot mol^{-1}}=19\\ \mathrm{mg\cdot L^{-1}}.
Resumo numérico: concentração eficaz mínima =2\\ \mathrm{mg\cdot L^{-1}}, máxima segura =19\\ \mathrm{mg\cdot L^{-1}}. Pico inicial =16\\ \mathrm{mg\cdot L^{-1}}.

Passo 3

Modelagem do decaimento: com meia-vida conhecida, a concentração decai exponencialmente. A fórmula básica é
C(t)=C_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}},
onde:
  • C(t) é a concentração no tempo t (horas) após a dose,
  • C_0 é a concentração inicial imediatamente após a dose,
  • T_{1/2} é a meia-vida (aqui T_{1/2}=8\\ \text{h}).
No nosso caso C_0=16\\ \mathrm{mg\cdot L^{-1}}, logo
C(t)=16\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/8}\\ \mathrm{mg\cdot L^{-1}}.
Explicando rápido: a cada 8 horas a concentração fica pela metade; assim após t horas o fator de redução é (1/2)^{t/8}.

Passo 4

Entendimento do que significa “intervalo ideal entre 1ª e 2ª doses”:
  • Antes da segunda dose (ou seja, imediatamente antes de ingerir a 2ª dose), a concentração não deve ter caído abaixo do mínimo eficaz 2\\ \mathrm{mg\cdot L^{-1}}. Caso contrário, o medicamento deixa de ser eficaz antes da próxima dose.
  • Imediatamente após tomar a segunda dose, haverá um acréscimo igual ao pico produzido por uma dose isolada (assumindo farmacocinética linear). Como a primeira dose produziu pico de 16\\ \mathrm{mg\cdot L^{-1}}, a segunda dose adicionará esse mesmo aumento instantâneo. Portanto o pico imediato após a 2ª dose será C_{\text{pico\_após 2ª}} = C(t) + 16\\ \mathrm{mg\cdot L^{-1}}.óªEsse pico não pode ultrapassar o máximo seguro 19\\ \mathrm{mg\cdot L^{-1}}.
Portanto precisamos escolher t tal que, simultaneamente,
2 \le C(t) \le 3\\ \mathrm{mg\cdot L^{-1}},
porque C(t)\le 3 vem de C(t)+16\le19\Rightarrow C(t)\le3.

Passo 5

Resolver as duas equações-limite para encontrar o intervalo de t.
  1. Resolver C(t)=3:
16\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/8}=3.
Isolando a potência:
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/8}=\frac{3}{16}=0{,}1875.
Fazendo logaritmo (uso natural, qualquer base serve):
\frac{t}{8}\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\ln(0{,}1875).
Como \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2, obtemos
t=8\frac{\ln(0{,}1875)}{\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)}=8\frac{\ln(0{,}1875)}{-\ln 2}.
Calculando numericamente:
\ln(0{,}1875)\approx -1{,}673976,\qquad \ln 2\approx 0{,}693147,
então
t\approx 8\cdot \frac{-1{,}673976}{-0{,}693147}=8\cdot 2{,}415037\approx 19{,}32\\ \text{horas}.
  1. Resolver C(t)=2:
16\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/8}=2 \quad\Rightarrow\quad \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/8}=\frac{1}{8}.
Sabendo que \frac{1}{8}=(\tfrac{1}{2})^{3}, temos imediatamente
\frac{t}{8}=3 \quad\Rightarrow\quad t=24\\ \text{horas}.
(ou usando log, dá o mesmo resultado).

Passo 6

Interpretação dos resultados:
  • Para que o pico após a 2ª dose não ultrapasse o máximo seguro, precisamos que t\ge 19{,}32 horas (isto é, quando C(t)\le3).
  • Para que a concentração não caia abaixo do eficaz mínimo antes da 2ª dose, precisamos que t\le 24 horas (isto é, quando C(t)\ge2).
Logo o intervalo de tempos aceitáveis é aproximadamente [19{,}32\\ \text{h},\,24\\ \text{h}].
Das opções dadas (a) 24, (b) 12, (c) 6 horas, apenas 24 horas está dentro do intervalo aceitável. As outras duas (12 e 6) fariam com que o pico após a 2ª dose ultrapassasse o limite seguro ( C(t) ainda seria muito alto antes da dose).

Resposta

a) 24

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