(Uespi) Uma pequena esfera condutora A, no vácuo, possui inicialmente carga elétrica Q. Ela é posta em contato com outra esfera, idêntica a ela, mas neutra, e ambas são separadas após o equilíbrio eletrostático ter sido atingido. Esse procedimento é repetido mais 10 vezes, envolvendo outras 10 esferas idênticas à esfera A, todas inicialmente neutras. Ao final, qual a carga da esfera A ?

Passo 1

O exercício é de eletrostática: uma esfera condutora A, no vácuo, começa com carga Q e toca, sucessivamente, 11 esferas idênticas e neutras (a primeira, mais 10 repetições). Sempre que duas esferas idênticas entram em contato, elas trocam carga até atingirem o mesmo potencial, ou seja, cada uma acaba com metade da carga total.

Passo 2

Quando a esfera A (com carga Q) toca a primeira esfera neutra (carga zero), a carga total é Q+0=Q. Como elas são idênticas, cada uma fica com metade:
Q1=Q2(carga da esfera A após o 1º contato)óº

Passo 3

No segundo contato, a esfera A já tem Q1=tfracQ2 e a outra está neutra. De novo a carga total é tfracQ2+0=tfracQ2, dividida igualmente:
Q2=12,Q2=Q2^2

Passo 4

Cada novo contato repete o mesmo raciocínio, sempre dividindo pela metade a carga que a esfera A tinha: se antes do n-ésimo contato A tem Qn-1, depois fica com
Qn=Qn-12
Isso gera a fórmula geral
Qn=Q2^n

Passo 5

Foram 11 contatos no total (1 inicial + 10 repetições), logo n=11. Substituindo:
Q11=Q2^11,

Resposta

A carga da esfera A ao final do processo é
boxedQ2^11,

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