(UFSC) Para qual valor de m o sistema \left\{\begin{array}{l}m x-2 y-z=0 \\\ x-m y-2 z=0 \text { admite infinitas soluções? } \\\\ 3 x-2 y=0\end{array}\right.
a) m=0
b) m \neq 0
c) m=2
d) m=10
Passo 1
O enunciado dá um sistema homogêneo de três equações lineares em x,y,z com parâmetro m. O conteúdo é Álgebra Linear: um sistema homogêneo tem infinitas soluções se e somente se o posto da matriz de coeficientes for menor que o número de incógnitas (aqui 3), isto é, se o determinante for zero ou, equivalentemente, se surgir uma condição que permita uma variável livre. Para explorar isso, vamos usar a terceira equação para eliminar y.
Passo 2
Da terceira equação
3x - 2y = 0
segue
y = \frac{3}{2}x.
Passo 3
Substituindo y=\tfrac32 x na primeira equação
m x - 2y - z = 0
obtemos
m x - 2\Bigl(\tfrac32 x\Bigr) - z = 0 \quad\Longrightarrow\quad (m - 3)x - z = 0 \quad\Longrightarrow\quad z = (m-3)x.
Passo 4
Agora substituímos y=\tfrac32 x e z=(m-3)x na segunda equação
x - m y - 2z = 0
e obtemos
x - m\Bigl(\tfrac32 x\Bigr) - 2\bigl((m-3)x\bigr) = x - \frac{3m}{2}x - 2(m-3)x = \frac{14 - 7m}{2}\,x = 0.
Passo 5
Como o sistema é homogêneo, ele terá infinitas soluções não triviais se existir x\neq0. Isso exige