(UFV/2003) A representação no plano complexo dos números tais que a parte real de \mathrm{z}^{2} é igual a 2 é uma: R: Hipérbole.

Passo 1

O enunciado dá a condição sobre um número complexo z: a parte real de z^{2} é igual a 2.
O que nos pedem é a representação geométrica (o lugar geométrico) no plano complexo dos pontos z que satisfazem essa condição.
Informações relevantes fornecidas: a única equação dada é
\operatorname{Re}(z^{2})=2.

Passo 2

Vamos escrever o número complexo z em termos de suas coordenadas reais e imaginárias: seja
z = x + i y,
onde x e y são números reais, x=\operatorname{Re}(z) e y=\operatorname{Im}(z).
Isto é padrão: qualquer ponto do plano complexo corresponde ao par (x,y).

Passo 3

Agora calculamos z^{2}. Usamos a regra de multiplicação de binômios e a propriedade i^{2}=-1:
z^{2}=(x+iy)^{2}=x^{2}+2ixy+(iy)^{2}=x^{2}+2ixy+i^{2}y^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy.
Expliquei cada termo: x^{2} e 2ixy vêm da expansão, e (iy)^{2}=i^{2}y^{2}=-y^{2}.

Passo 4

A parte real de z^{2} é o coeficiente sem i, ou seja
\operatorname{Re}(z^{2})=x^{2}-y^{2}.
Pela condição do enunciado, igualamos isso a 2:
x^{2}-y^{2}=2.

Passo 5

A equação
x^{2}-y^{2}=2
é uma equação de segundo grau em x e y. Para reconhecer o tipo de curva, colocamos na forma padrão dividindo por 2:
\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1.
Esta é precisamente a forma canonica de uma hipérbole centrada na origem com eixo transverso ao longo do eixo x. A forma geral de uma hipérbole com centro na origem e abertura horizontal é
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
assim aqui temos a^{2}=2 e b^{2}=2.

Passo 6

Interpretações úteis para a prova (decorações práticas):
  • Vértices: (\pm a,0)=(\pm\sqrt{2},0). São os pontos mais próximos da origem sobre a hipérbole.
  • Focos: estão em (\pm c,0) com c^{2}=a^{2}+b^{2}=2+2=4, logo c=2; foci em (\pm 2,0).
  • Assíntotas: as retas que a hipérbole se aproxima quando |x|\to\infty são dadas por
y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}x=\pm x.
Portanto as assíntotas são y=\pm x.

Passo 7

Alguns pontos concretos para treinar: se y=0 então x^{2}=2 e os pontos (\pm\sqrt{2},0) pertencem; se y=1 então x^{2}=3 e os pontos (\pm\sqrt{3},1) pertencem. A curva é simétrica em relação aos eixos coordenados e ao ponto origem (simetria par), abre para a esquerda e direita ao longo do eixo x.

Passo 8

Conclusão prática: a equação do lugar geométrico é \,x^{2}-y^{2}=2, que é a equação de uma hipérbole centrada na origem, com vértices em (\pm\sqrt{2},0), focos em (\pm 2,0) e assíntotas y=\pm x. Portanto a representação pedida é uma hipérbole.

Resposta

Hipérbole

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