2^{\underline{\mathrm{a}}} ) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função g(x)=\left|x^{2}-4\right| no ponto A=(1, g(1)) .\left(\right. Dica: \left.|x|^{\prime}=x /|x|\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função g(x)=\left|x^{2}-4\right| no ponto A=(1,g(1)).
Informações dadas e o que precisamos:
  • A função é g(x)=\left|x^{2}-4\right|.
  • O ponto é A=(1,g(1)).
  • Para encontrar a reta tangente precisamos de dois dados: o ponto (já dado) e a inclinação (o coeficiente angular), que é g'(1), a derivada de g em x=1.
  • Há uma dica: \left.|x|^{\prime}=x/|x|\right). Isso é a forma de derivar o valor absoluto (com atenção onde é diferenciável).

Passo 2

Calcular o valor de g em x=1 para saber as coordenadas do ponto A.
g(1)=\left|1^{2}-4\right|=\left|1-4\right|=\left|-3\right|=3.
Logo o ponto é A=(1,3).

Passo 3

Entender a função \left|x^{2}-4\right| como função composta e explicar como derivá-la de forma segura.
Primeiro, observe a expressão dentro do módulo: u(x)=x^{2}-4. As raízes de u são os pontos onde muda o sinal:
x^{2}-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 2.
Isto significa que em intervalos:
  • para x<-2: u(x)>0 e \left|u(x)\right|=u(x)=x^{2}-4;
  • para -2<x<2: u(x)<0 e \left|u(x)\right|=-u(x)=4-x^{2};
  • para x>2: u(x)>0 e \left|u(x)\right|=x^{2}-4.
Como x=1 está no intervalo (-2,2), perto de x=1 vale a expressão sem o módulo:
g(x)=4-x^{2}\quad\text{(para }-2<x<2\text{)}.
Essa representação por partes é a maneira mais direta e segura em provas para derivar o módulo: identificar a região onde estamos e derivar a expressão correspondente.

Passo 4

Derivar a expressão válida perto de x=1 e calcular g'(1).
A expressão na vizinhança de x=1 é g(x)=4-x^{2}. Derivando termo a termo (regra básica: (x^{2})'=2x e constante some):
g'(x)=(4)'- (x^{2})' = 0 - 2x = -2x.
Logo, em particular,
g'(1)=-2\cdot 1=-2.
Comentário didático curto: poderia também usar a regra geral para valor absoluto composta, isto é, se g(x)=|u(x)| e u(x)\neq 0, então g'(x)=\dfrac{u(x)}{|u(x)|}\,u'(x). Aplicando aqui em x=1, tem-se u(1)=1^{2}-4=-3 e u'(x)=2x, portanto g'(1)=(-3)/|{-3}|\cdot 2\cdot 1 = (-1)\cdot 2 = -2, compatível com o resultado acima.

Passo 5

Montar a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação.
A forma ponto-inclinação da reta tangente em x=1 é:
y-g(1)=g'(1)\big(x-1\big).
Substituindo g(1)=3 e g'(1)=-2:
y-3=-2\big(x-1\big).
Desenvolvendo para a forma explícita y=mx+b:
y-3=-2x+2 \quad\Rightarrow\quad y=-2x+5.

Passo 6

Verificação rápida e comentário final (para dar confiança):
  • No ponto x=1, a reta dá y=-2\cdot 1+5=3, que coincide com g(1).
  • A inclinação -2 é a derivada que calculamos, então a reta encontrada é a tangente correta. Bom trabalho — você conseguiu! Vai dar certo na prova 😃

Resposta

y=-2x+5