3^{\underline{0}} ) A resistência elétrica de um arame de cobre é dada em função da temperatura e pode ser estimada pela expressão R=R_{o}[1+\alpha(T-20)], sendo fornecido pelo fabricante que o valor da resistência nominal \mathrm{R}_{\mathrm{o}}=6 \Omega \pm 3 \% a 20^{0} \mathrm{C} (temperatura de projeto) e \alpha=0.004 /{ }^{0} \mathrm{C} \pm 1 \%. Considere que a resistência esta operando numa condição de trabalho severa, cuja temperatura é \mathrm{T}=45^{\circ} \mathrm{C} \pm 5 \%, e que, para garantir a eficiência, a variação da resistência R não pode exceder \pm 0.20 \Omega, pergunta-se:
a-) De acordo com as informações acima é possível garantir que a resistência pode trabalhar nesta condição ? (1.25)
b-) Caso negativo, você sugere melhorar a exatidão na medição de qual parâmetro ? Por quê? (1.25)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Resistência nominal em 20^\circ\mathrm{C}: \,R_{o}=6\\ \Omega \pm 3\%.
    Logo \,R_{o}=6\\ \Omega e variação absoluta \Delta R_{o}=0{,}03\cdot6=0{,}18\\ \Omega.
  • Coeficiente térmico: \,\alpha=0{,}004\\ /\!^\circ\mathrm{C}\pm1\%.
    Logo \,\alpha=0{,}004\\ /\!^\circ\mathrm{C} e \Delta\alpha=0{,}01\cdot0{,}004=0{,}00004\\ /\!^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de operação: \,T=45^\circ\mathrm{C}\pm5\%.
    Logo \,T=45^\circ\mathrm{C} e \Delta T=0{,}05\cdot45=2{,}25^\circ\mathrm{C}.
  • Modelo da resistência em função da temperatura:
R = R_{o}\bigl[1+\alpha(T-20)\bigr].
  • Restrição exigida: a variação da resistência R não pode exceder \pm 0{,}20\\ \Omega.
Perguntas:
a) Com os dados e suas incertezas, é possível garantir que R ficará dentro de \pm 0{,}20\\ \Omega?
b) Se não, qual parâmetro convém melhorar a exatidão e por quê?

Passo 2

Calcular o valor nominal de R usando os valores centrais (sem incertezas):
R_{\text{nom}} = R_{o}\bigl[1+\alpha(T-20)\bigr].
Substituindo \,R_{o}=6\\ \Omega, \alpha=0{,}004\\ /\!^\circ\mathrm{C} e T=45^\circ\mathrm{C} (note que T-20=25):
1+\alpha(T-20)=1+0{,}004\cdot25 = 1+0{,}1 = 1{,}1.
R_{\text{nom}} = 6\cdot1{,}1 = 6{,}6\\ \Omega.
A faixa permitida pela especificação \pm 0{,}20\\ \Omega é então [6{,}4,\\\ 6{,}8]\\ \Omega.

Passo 3

Explicar como estimar a incerteza em R (ensinar o método):
  • Quando uma grandeza depende de várias variáveis com incertezas independentes, a incerteza combinada pode ser estimada pela soma quadrática (propagação gaussiana) das contribuições de cada variável. A fórmula linearizada é
\Delta R \approx \sqrt{\Bigl(\frac{\partial R}{\partial R_{o}}\Delta R_{o}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{\partial R}{\partial\alpha}\Delta\alpha\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{\partial R}{\partial T}\Delta T\Bigr)^{2}}.
  • Aqui \Delta R é a incerteza padrão combinada aproximada; \frac{\partial R}{\partial x} são os coeficientes de sensibilidade (quanto R muda por unidade de x). Essa aproximação é válida se as incertezas são pequenas e as variáveis independentes.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais (coeficientes de sensibilidade) e suas contribuições:
A função é R=R_{o}\bigl(1+\alpha(T-20)\bigr). Logo
\frac{\partial R}{\partial R_{o}}=1+\alpha(T-20), \qquad \frac{\partial R}{\partial\alpha}=R_{o}(T-20), \qquad \frac{\partial R}{\partial T}=R_{o}\alpha.
Substituindo os valores nominais ( T-20=25):
\frac{\partial R}{\partial R_{o}}=1{,}1, \qquad \frac{\partial R}{\partial\alpha}=6\cdot25=150, \qquad \frac{\partial R}{\partial T}=6\cdot0{,}004=0{,}024.
Agora as contribuições numéricas usando \Delta R_{o}=0{,}18\\ \Omega, \Delta\alpha=0{,}00004\\ /\!^\circ\mathrm{C}, \Delta T=2{,}25^\circ\mathrm{C}:
  • Contribuição de R_{o}:
\Bigl(\frac{\partial R}{\partial R_{o}}\Delta R_{o}\Bigr)=1{,}1\cdot0{,}18=0{,}198\\ \Omega.
  • Contribuição de \alpha:
\Bigl(\frac{\partial R}{\partial\alpha}\Delta\alpha\Bigr)=150\cdot0{,}00004=0{,}006\\ \Omega.
  • Contribuição de T:
\Bigl(\frac{\partial R}{\partial T}\Delta T\Bigr)=0{,}024\cdot2{,}25=0{,}054\\ \Omega.
Agora soma quadrática:
\Delta R \approx \sqrt{0{,}198^{2}+0{,}006^{2}+0{,}054^{2}} = \sqrt{0{,}039204+0{,}000036+0{,}002916} = \sqrt{0{,}042156} \approx 0{,}2053\\ \Omega.

Passo 5

Interpretação do resultado e comparação com a tolerância:
  • A incerteza combinada estimada é \Delta R\approx0{,}205\\ \Omega, isto é ligeiramente maior que o limite permitido \pm0{,}20\\ \Omega.
  • Portanto não se pode garantir, com os níveis de incerteza dados, que R permanecerá dentro da faixa [6{,}4,\\\ 6{,}8]\\ \Omega; a incerteza excede o máximo permitido (por pouco, mas excede).
  • Observação de sensibilidade: a maior contribuição para \Delta R vem da incerteza em R_{o} (contribuição 0{,}198\\ \Omega), seguida pela incerteza na temperatura T ( 0{,}054\\ \Omega); a contribuição de \alpha é desprezível ( 0{,}006\\ \Omega).

Passo 6

Resposta à parte (b) — qual parâmetro melhorar e por quê:
  • Melhorar a exatidão de \,R_{o} é a ação mais eficaz, porque a incerteza de R_{o} é responsável pela maior parcela da incerteza total em R. Em termos práticos, reduzir o percentual de incerteza de R_{o} (hoje 3\%) para um valor ligeiramente menor já colocaria \Delta R abaixo de 0{,}20\\ \Omega.
  • Para quantificar: mantendo \Delta\alpha e \Delta T iguais, o \Delta R_{o} permitido que satisfaz \Delta R\le0{,}20\\ \Omega resolve-se por
(1{,}1\,\Delta R_{o})^{2} \le 0{,}20^{2} - \bigl(0{,}006^{2}+0{,}054^{2}\bigr)\approx 0{,}037048,
daí \Delta R_{o}\le \dfrac{\sqrt{0{,}037048}}{1{,}1}\approx0{,}175\\ \Omega, o que corresponde a uma incerteza percentual \dfrac{0{,}175}{6}\approx2{,}9\%. Ou seja, reduzir a incerteza de R_{o} de 3\% para cerca de 2{,}9\% (ou arredondando, para 2{,}5\% para ter folga) resolve o problema.
  • Alternativamente, se for mais prático, reduzir a incerteza da medição de T também ajuda (segunda maior contribuição), mas é menos eficiente que agir sobre R_{o}. A incerteza de \alpha é pouco relevante aqui.

Resposta

(a) Não — a incerteza combinada em R é aproximadamente 0{,}205\\ \Omega, que excede o limite permitido de \pm0{,}20\\ \Omega.
(b) Melhorar a exatidão de R_{o} (reduzir a incerteza percentual em R_{o}) — porque a incerteza de R_{o} é a maior contribuição para a incerteza total de R.

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