) A resistência elétrica de um arame de cobre é dada em função da temperatura e pode ser estimada pela expressão
, sendo fornecido pelo fabricante que o valor da resistência nominal
a
(temperatura de projeto) e
. Considere que a resistência esta operando numa condição de trabalho severa, cuja temperatura é
, e que, para garantir a eficiência, a variação da resistência R não pode exceder
, pergunta-se:
a-) De acordo com as informações acima é possível garantir que a resistência pode trabalhar nesta condição ? (1.25)
b-) Caso negativo, você sugere melhorar a exatidão na medição de qual parâmetro ? Por quê? (1.25)
a-) De acordo com as informações acima é possível garantir que a resistência pode trabalhar nesta condição ? (1.25)
b-) Caso negativo, você sugere melhorar a exatidão na medição de qual parâmetro ? Por quê? (1.25)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- Resistência nominal em
:
Logoe variação absoluta - Coeficiente térmico:
Logoe - Temperatura de operação:
Logoe - Modelo da resistência em função da temperatura:
- Restrição exigida: a variação da resistência
não pode exceder
Perguntas:
a) Com os dados e suas incertezas, é possível garantir que ficará dentro de
?
b) Se não, qual parâmetro convém melhorar a exatidão e por quê?
a) Com os dados e suas incertezas, é possível garantir que
b) Se não, qual parâmetro convém melhorar a exatidão e por quê?
Passo 2
Calcular o valor nominal de
usando os valores centrais (sem incertezas):
Substituindo
,
e
(note que
):
A faixa permitida pela especificação
é então
.
Passo 3
Explicar como estimar a incerteza em
(ensinar o método):
- Quando uma grandeza depende de várias variáveis com incertezas independentes, a incerteza combinada pode ser estimada pela soma quadrática (propagação gaussiana) das contribuições de cada variável. A fórmula linearizada é
- Aqui
é a incerteza padrão combinada aproximada; são os coeficientes de sensibilidade (quanto muda por unidade de ). Essa aproximação é válida se as incertezas são pequenas e as variáveis independentes.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais (coeficientes de sensibilidade) e suas contribuições:
A função é . Logo
A função é
Substituindo os valores nominais (
):
Agora as contribuições numéricas usando
,
,
:
- Contribuição de
:
- Contribuição de
:
- Contribuição de
:
Agora soma quadrática:
Passo 5
Interpretação do resultado e comparação com a tolerância:
- A incerteza combinada estimada é
, isto é ligeiramente maior que o limite permitido . - Portanto não se pode garantir, com os níveis de incerteza dados, que
permanecerá dentro da faixa ; a incerteza excede o máximo permitido (por pouco, mas excede). - Observação de sensibilidade: a maior contribuição para
vem da incerteza em (contribuição ), seguida pela incerteza na temperatura ( ); a contribuição de é desprezível ( ).
Passo 6
Resposta à parte (b) — qual parâmetro melhorar e por quê:
- Melhorar a exatidão de
é a ação mais eficaz, porque a incerteza de é responsável pela maior parcela da incerteza total em . Em termos práticos, reduzir o percentual de incerteza de (hoje ) para um valor ligeiramente menor já colocaria abaixo de . - Para quantificar: mantendo
e iguais, o permitido que satisfaz resolve-se por
daí
, o que corresponde a uma incerteza percentual
. Ou seja, reduzir a incerteza de
de
para cerca de
(ou arredondando, para
para ter folga) resolve o problema.
- Alternativamente, se for mais prático, reduzir a incerteza da medição de
também ajuda (segunda maior contribuição), mas é menos eficiente que agir sobre . A incerteza de é pouco relevante aqui.
Resposta
(a) Não — a incerteza combinada em
é aproximadamente
, que excede o limite permitido de
.
(b) Melhorar a exatidão de
(reduzir a incerteza percentual em
) — porque a incerteza de
é a maior contribuição para a incerteza total de
.