Uma unidade da Intel produziu 500000 chips em certo período. São selecionados, aleatoriamente, 400 chips para testes.
a) Supondo que 20 chips não tenham a velocidade de processamento adequada, construir o intervalo de confiança com nível de 95 \% para a proporção de chips adequados. ( R : 0,95 \pm 0,021 )
b) Verificar se essa amostra é suficiente para obter um intervalo de 99 \% de confiança, com erro amostral máximo de 0,005 , para a proporção de chips adequados. Caso contrário, qual deveria ser o tamanho da amostra? ( R: 58744 )

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tirei estes números diretamente do enunciado):
  • Tamanho da população: N=500000 chips.
  • Tamanho da amostra: n=400 chips.
  • Na amostra, 20 chips NÃO têm velocidade adequada, logo o número de chips adequados na amostra é 400-20=380.
  • Pergunta (a): construir o intervalo de confiança de 95\% para a proporção de chips adequados.
  • Pergunta (b): verificar se a amostra n=400 é suficiente para obter um intervalo de confiança de 99\% com erro amostral máximo E=0,005 para a proporção de chips adequados; se não for suficiente, determinar o tamanho de amostra necessário.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho como numa conversa):
  • Definições:
    • Seja p a proporção verdadeira de chips adequados na população (desconhecida).
    • Seja \hat{p} a proporção observada na amostra (estimador de p).
  • Propriedade útil (aplicável quando n é razoavelmente grande): pela aproximação normal (Teorema central do limite para proporções), \hat{p}\\ \text{é aproximadamente normal com média }p\\ \text{e variância }\frac{p(1-p)}{n}.ééâComo p é desconhecido, usamos \hat{p} dentro da expressão da variância para estimar o erro padrão.
  • Erro-padrão estimado da proporção: \text{SE}(\hat{p})=\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.Aqui, \hat{p} é a proporção amostral e n é o tamanho da amostra.
  • Intervalo de confiança de nível (1-\alpha): se z_{1-\alpha/2} é o quantil da Normal padrão, \text{IC}:\quad \hat{p}\pm z_{1-\alpha/2}\cdot\text{SE}(\hat{p}).
    • Para 95\%, usamos z_{0{,}975}=1{,}96 (valor tabelado).
    • Observação sobre correção por população finita: quando se amostra sem reposição de uma população finita, existe um fator
    \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}que multiplica a SE. No nosso caso esse fator será praticamente 1 (pois n é muito menor que N), então é opcional aplicá-lo — mostrarei que sua influência é desprezível aqui.

Passo 3

Calcular a proporção amostral \hat{p}:
\hat{p}=\frac{380}{400}=0{,}95.
Isso significa que, na amostra, 95\% dos chips foram adequados.

Passo 4

Construir o intervalo de confiança de 95\%.
  1. Calcular \hat{p}(1-\hat{p}):
\hat{p}(1-\hat{p})=0{,}95\cdot(1-0{,}95)=0{,}95\cdot0{,}05=0{,}0475.
  1. Dividir por n e extrair raiz para obter a SE:
\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}=\frac{0{,}0475}{400}=0{,}00011875,
\text{SE}(\hat{p})=\sqrt{0{,}00011875}\approx0{,}010896.
  1. Multiplicar pelo z crítico para 95\% ( z_{0{,}975}=1{,}96) para obter a margem de erro:
\text{margem}=1{,}96\cdot0{,}010896\approx0{,}02136\approx0{,}021.
  1. Aplicando a correção por população finita para checar se muda algo:
\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}=\sqrt{\frac{500000-400}{500000-1}}=\sqrt{\frac{499600}{499999}}\approx0{,}9996,
multiplicar a SE por 0{,}9996 altera a margem num nível ínfimo (teríamos \approx0{,}02135), logo desprezível.
  1. Concluir o intervalo:
  • Forma centrada: \hat{p}\pm\text{margem} = 0{,}95\pm0{,}021.
  • Em termos de extremos:
\text{IC}_{95\%} \approx [0{,}95-0{,}02136,\;0{,}95+0{,}02136]\approx[0{,}9286,\;0{,}9714].

Passo 5

Interpretação curta e motivadora: com 95\% de confiança podemos dizer que a proporção verdadeira de chips adequados está aproximadamente entre 92{,}86\% e 97{,}14\%. Legal — a amostra mostra alta qualidade.

Passo 6

Agora a parte (b): verificar suficiência da amostra para um IC de 99\% com erro máximo E=0{,}005.
  • Fórmula para tamanho amostral (sem considerar ainda a correção finita) para proporções: n_0=\frac{z_{1-\alpha/2}^2\;p(1-p)}{E^2},onde:
    • z_{1-\alpha/2} é o quantil da Normal padrão correspondente ao nível de confiança ( 99\%\Rightarrow z\approx2{,}58 ou mais precisamente 2{,}5758);
    • p é a proporção usada no planejamento. Se não se tem uma boa estimativa ou se se quer garantir o pior caso, usa-se p=0{,}5 porque p(1-p) é maximizado em p=0{,}5 (isso fornece o tamanho de amostra conservador, maior).
  • Depois, por população finita N, faz-se a correção: n=\frac{N\;n_0}{N+n_0-1}.
  • Observação: podemos também usar \hat{p}=0{,}95 para calcular um n_0 menor (pois a variância é menor), mas o enunciado de resposta que foi dado usa a escolha conservadora p=0{,}5. Vou seguir essa escolha porque garante que, independente da proporção real, o erro será no máximo E.

Passo 7

Cálculos para 99\% com E=0{,}005, usando p=0{,}5 e z\approx2{,}58:
  1. Calcular n_0:
z^2\approx(2{,}58)^2=6{,}6564,
n_0=\frac{6{,}6564\cdot(0{,}5)(1-0{,}5)}{0{,}005^2} =\frac{6{,}6564\cdot0{,}25}{0{,}000025} =\frac{1{,}6641}{0{,}000025}=66\,564.
  1. Aplicar a correção por população finita:
n=\frac{N\;n_0}{N+n_0-1} =\frac{500000\cdot66\,564}{500000+66\,564-1} =\frac{33\,282\,000\,000}{566\,563}\approx58\,744.
  1. Arredondamento: em planejamento de amostras normalmente arredonda-se para cima se necessário; aqui o valor aproximado é 58\,744. Comparando com a amostra já coletada:
400 \ll 58\,744,
logo a amostra n=400 é muito insuficiente para garantir um erro máximo de 0{,}005 a 99\% com a escolha conservadora p=0{,}5.

Passo 8

Comentário final encorajador: se aceitar usar a estimativa obtida \hat{p}=0{,}95 em vez da abordagem conservadora, o tamanho necessário diminuiria bastante (cálculo rápido: com z\approx2{,}576 e p=0{,}95 obtém-se n_0\approx12{,}607 e, após correção, algo perto de 12{,}572 — ainda muito maior que 400). Então, em qualquer caso, n=400 não é suficiente para a precisão desejada de 0{,}005 a 99\%.

Resposta

0{,}95 \pm 0{,}021
Não; 58744