Uma unidade da Intel produziu 500000 chips em certo período. São selecionados, aleatoriamente, 400 chips para testes.
a) Supondo que 20 chips não tenham a velocidade de processamento adequada, construir o intervalo de confiança com nível de
para a proporção de chips adequados. (
:
)
b) Verificar se essa amostra é suficiente para obter um intervalo de
de confiança, com erro amostral máximo de 0,005 , para a proporção de chips adequados. Caso contrário, qual deveria ser o tamanho da amostra? (
)
a) Supondo que 20 chips não tenham a velocidade de processamento adequada, construir o intervalo de confiança com nível de
b) Verificar se essa amostra é suficiente para obter um intervalo de
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (tirei estes números diretamente do enunciado):
- Tamanho da população:
chips. - Tamanho da amostra:
chips. - Na amostra,
chips NÃO têm velocidade adequada, logo o número de chips adequados na amostra é . - Pergunta (a): construir o intervalo de confiança de
para a proporção de chips adequados. - Pergunta (b): verificar se a amostra
é suficiente para obter um intervalo de confiança de com erro amostral máximo para a proporção de chips adequados; se não for suficiente, determinar o tamanho de amostra necessário.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho como numa conversa):
- Definições:
- Seja
a proporção verdadeira de chips adequados na população (desconhecida). - Seja
a proporção observada na amostra (estimador de ).
- Seja
- Propriedade útil (aplicável quando
é razoavelmente grande): pela aproximação normal (Teorema central do limite para proporções), Como é desconhecido, usamos dentro da expressão da variância para estimar o erro padrão. - Erro-padrão estimado da proporção:
Aqui, é a proporção amostral e é o tamanho da amostra. - Intervalo de confiança de nível
: se é o quantil da Normal padrão, - Para
, usamos (valor tabelado). - Observação sobre correção por população finita: quando se amostra sem reposição de uma população finita, existe um fator
que multiplica a SE. No nosso caso esse fator será praticamente (pois é muito menor que ), então é opcional aplicá-lo — mostrarei que sua influência é desprezível aqui. - Para
Passo 3
Calcular a proporção amostral
:
Isso significa que, na amostra,
dos chips foram adequados.
Passo 4
Construir o intervalo de confiança de
.
- Calcular
:
- Dividir por
e extrair raiz para obter a SE:
- Multiplicar pelo
crítico para ( ) para obter a margem de erro:
- Aplicando a correção por população finita para checar se muda algo:
multiplicar a SE por
altera a margem num nível ínfimo (teríamos
), logo desprezível.
- Concluir o intervalo:
- Forma centrada:
. - Em termos de extremos:
Passo 5
Interpretação curta e motivadora: com
de confiança podemos dizer que a proporção verdadeira de chips adequados está aproximadamente entre
e
. Legal — a amostra mostra alta qualidade.
Passo 6
Agora a parte (b): verificar suficiência da amostra para um IC de
com erro máximo
.
- Fórmula para tamanho amostral (sem considerar ainda a correção finita) para proporções:
onde: -
é o quantil da Normal padrão correspondente ao nível de confiança ( ou mais precisamente ); -
é a proporção usada no planejamento. Se não se tem uma boa estimativa ou se se quer garantir o pior caso, usa-se porque é maximizado em (isso fornece o tamanho de amostra conservador, maior).
-
- Depois, por população finita
, faz-se a correção: - Observação: podemos também usar
para calcular um menor (pois a variância é menor), mas o enunciado de resposta que foi dado usa a escolha conservadora . Vou seguir essa escolha porque garante que, independente da proporção real, o erro será no máximo .
Passo 7
Cálculos para
com
, usando
e
:
- Calcular
:
- Aplicar a correção por população finita:
- Arredondamento: em planejamento de amostras normalmente arredonda-se para cima se necessário; aqui o valor aproximado é
. Comparando com a amostra já coletada:
logo a amostra
é muito insuficiente para garantir um erro máximo de
a
com a escolha conservadora
.
Passo 8
Comentário final encorajador: se aceitar usar a estimativa obtida
em vez da abordagem conservadora, o tamanho necessário diminuiria bastante (cálculo rápido: com
e
obtém-se
e, após correção, algo perto de
— ainda muito maior que
). Então, em qualquer caso,
não é suficiente para a precisão desejada de
a
.
Resposta
Não;