Uma universidade possui 40 salas distribuídas em 5 prédios distintos. Deseja-se avaliar as condições estruturais das salas, mas há limitação de tempo para visitar apenas 12 salas.
a) Descreva como aplicar a amostragem por conglomerados nesse caso.
b) Explique qual seria o conglomerado.
c) Discuta vantagens logísticas dessa abordagem.
d) Aponte possíveis desvantagens estatísticas.

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede (peguei estes números do enunciado).
  • \,N=40\, salas no total, distribuídas em \,M=5\, prédios diferentes.
  • O tempo permite visitar apenas \,n=12\, salas.
    O enunciado pede:
    a) descrever como aplicar amostragem por conglomerados nesse caso;
    b) dizer qual é o conglomerado;
    c) discutir vantagens logísticas dessa abordagem;
    d) apontar desvantagens estatísticas.

Passo 2

O que é amostragem por conglomerados — aula rápida e simples.
  • Definição: em amostragem por conglomerados, a população é naturalmente dividida em grupos chamados conglomerados (clusters). Em vez de sortear unidades individuais espalhadas pela população, sorteia-se um conjunto de conglomerados e, em seguida, escolhem-se unidades dentro dos conglomerados selecionados (pode-se inspecionar todas as unidades dos conglomerados escolhidos — uma etapa — ou apenas algumas dentro de cada conglomerado — duas etapas).
  • Por que usar: reduz deslocamento e custo quando elementos próximos geograficamente são agrupados.
  • Termos e símbolos importantes (vou usar estes mais adiante): M = número de conglomerados, N = total de unidades, N_i = número de unidades no conglomerado i, m = número de conglomerados selecionados, n = número total de unidades amostradas.

Passo 3

Aplicação direta ao problema: identificar o conglomerado e opções práticas.
  • Peguei do enunciado que M=5 e N=40. Logo a média de salas por prédio é
\bar{N}=\frac{N}{M}=\frac{40}{5}=8.
  • Obviamente o conglomerado natural aqui é o prédio (cada prédio reúne várias salas). Vou explicar a seguir opções concretas de aplicação da técnica.

Passo 4

Opção 1 — amostragem por conglomerados de uma etapa (selecionar prédios e vistoriar todas as salas desses prédios).
  • Procedimento prático:
    1. numerar os prédios de 1 a 5;
    2. sortear aleatoriamente m prédios (por exemplo, por amostragem aleatória simples sem reposição);
    3. vistoriar todas as salas dos prédios sorteados.
  • Observação com os números do enunciado: como \bar{N}=8, se escolhermos m=1 visitaríamos cerca de 8 salas (menos que as 12 desejadas). Se escolhermos m=2 visitaríamos cerca de 16 salas (mais que 12). Portanto, com uma etapa não dá necessariamente exatamente 12 salas: ou fica abaixo ou acima.

Passo 5

Opção 2 — amostragem por conglomerados em duas etapas (selecionar prédios, depois selecionar salas dentro deles). — esta é, na prática, a mais flexível.
  • Procedimento prático recomendado:
    1. sortear m prédios dentre os 5. Uma escolha razoável é m=3 prédios (porque 3 prédios \times cerca de 4 salas vistoriadas por prédio dá \,12\, salas; se prédios forem desiguais, ajustar proporcionalmente).
    2. dentro de cada prédio selecionado, sortear aleatoriamente um número fixo de salas para totalizar 12. Por exemplo, sortear 4 salas em cada um dos 3 prédios selecionados para obter exatamente 12 salas. Se os prédios tiverem números de salas muito diferentes, distribuir as 12 unidades proporcionalmente ao N_i (número de salas por prédio).
  • Vantagem dessa opção: permite atingir exatamente n=12 e controlar melhor a alocação do esforço.

Passo 6

Como lidar com prédios com tamanhos diferentes — ideia do PPS e pesos (aula curta).
  • Se os prédios têm tamanhos diferentes N_i, há duas alternativas:
    1. selecionar prédios com probabilidade igual e dentro deles selecionar número de salas proporcional a N_i;
    2. selecionar prédios por probabilidade proporcional ao tamanho (PPS — probability proportional to size) e, em seguida, inspecionar um número fixo de salas em cada prédio selecionado.
  • Por que isso importa: se não ajustar, prédios grandes podem ficar sub ou super-representados na amostra, introduzindo viés nas estimativas se não corrigido por pesos. Quando se usa amostragem desigual, ao estimar totais ou médias é preciso aplicar pesos (cada sala tem peso inverso à sua probabilidade de seleção).

Passo 7

Estimadores e variância — noção prática sem complicar demais.
  • Notação para estimador de total em amostragem por conglomerados de uma etapa (SRS de conglomerados, inspecionando todas as unidades nos conglomerados selecionados):
\hat{T}=\frac{M}{m}\sum_{j=1}^{m} t_j,
onde t_j é o total observado no conglomerado j selecionado (ex.: número de salas com problema no prédio j). A média populacional estimada é \hat{\bar{Y}}=\hat{T}/N.
  • Variância entre conglomerados (fórmula conceitual):
\mathrm{Var}(\hat{T})=\frac{M^2}{m}\left(1-\frac{m}{M}\right)S_t^2,
onde S_t^2 é a variância dos totais dos M conglomerados. Não precisa decorar, mas entenda: a variância depende da variabilidade entre prédios (diferença entre t_is) e do número de prédios amostrados m.
  • Importante: se só selecionar poucos prédios ( m pequeno), a variância tende a ser grande — aqui há só M=5 prédios, então amostrar somente m=1 ou m=2 pode dar estimativas pouco precisas.

Passo 8

Design effect e correlação intraclasse — por que cluster sampling costuma aumentar a variância.
  • Definição simples: unidades dentro do mesmo prédio tendem a ser semelhantes (por exemplo, salas do mesmo prédio podem ter problemas estruturais parecidos). Essa semelhança é medida pela correlação intraclasse \rho.
  • Fórmula prática para efeito no erro:
\mathrm{deff}=1+(\bar{N}-1)\rho,
onde \bar{N} é o tamanho médio do conglomerado (aqui \bar{N}=8). Se \rho>0 (unidades do mesmo prédio são parecidas), então \mathrm{deff}>1 e a amostra por conglomerados tem variância maior que uma amostra aleatória simples (SRS) de mesmo tamanho. Se as salas dentro de um prédio fossem muito diferentes ( \rho\approx 0), o problema é menor.

Passo 9

Vantagens logísticas — explicação prática e motivadora (respondo o item c) com exemplos que você pode mencionar na prova).
  • Economia de tempo e deslocamento: visitar salas concentradas no mesmo prédio reduz viagens entre prédios.
  • Menor custo operacional: material e logística concentrados.
  • Facilidade de coordenação: autorizações e contatos são feitos por prédio, não sala a sala.
  • Simplicidade no trabalho de campo: rotina repetitiva no mesmo prédio melhora velocidade da inspeção.
    (Mencione no exame: “principal vantagem logística = menor deslocamento e custo”.)

Passo 10

Desvantagens estatísticas — explicação clara e o que escrever na prova (respondo o item d).
  • Maior variância que SRS quando há correlação positiva intra-prédio ( \rho>0). Ou seja, menos precisão para a mesma n.
  • Poucos conglomerados disponíveis pioram a precisão: aqui M=5 é pequeno, então amostrar só um ou dois prédios tende a dar estimativas ruins e instáveis.
  • Possível necessidade de pesos e procedimentos mais complexos (PPS, ajustes) para corrigir seleção desigual, o que complica a análise.
  • Risco de viés prático se os prédios selecionados forem atípicos (por exemplo, escolher apenas prédios muito novos pode subestimar problemas).
  • Conclusão prática: amostragem por conglomerados facilita o trabalho, mas exige cuidado na análise e pode reduzir a precisão.

Passo 11

Recomendação prática imediata (o que fazer se você tivesse que aplicar isso amanhã) — passo a passo sucinto para o campo.
  • Se objetivo for máxima simplicidade logística e aceitar alguma perda de precisão: usar amostragem em duas etapas com m=3 prédios sorteados aleatoriamente e 4 salas escolhidas aleatoriamente em cada prédio ( 3\times4=12). Ajustar alocação se souber os N_i.
  • Se objetivo for maior precisão estatística e deslocamento não for proibitivo: considerar amostragem aleatória simples das 40 salas (SRS de n=12) em vez de cluster, pois com só 5 prédios o ganho logístico talvez não compense a perda de precisão.
  • Em qualquer caso, registre as probabilidades de seleção para permitir estimativas sem viés e calcular variâncias corretas.

Resposta

a) Selecionar randomicamente alguns prédios (conglomerados) e, em seguida, vistoriar todas as salas nesses prédios (uma etapa) ou sortear salas dentro dos prédios selecionados (duas etapas); por exemplo, sortear m=3 prédios e dentro de cada um sortear 4 salas para totalizar 12.
b) O conglomerado é o prédio (cada prédio contém várias salas).
c) Vantagens logísticas: reduz deslocamentos e tempo de campo, menor custo operacional, coordenação mais simples e rotina de trabalho concentrada por prédio.
d) Desvantagens estatísticas: geralmente maior variância que SRS devido à correlação intraclasse \rho (design effect \mathrm{deff}=1+(\bar{N}-1)\rho), poucos conglomerados ( M=5) prejudicam a precisão, necessidade de pesos/ajustes se tamanhos N_i forem desiguais e risco de viés se prédios selecionados forem atípicos.

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