(URCA/2024.2) Se \log 4=x e \log 7=y, então \log _{5} 28 é:
A) \frac{x+2 y}{2-x}
B) \frac{2 x+y}{1-x}
C) \frac{x+y}{1-x}
D) \frac{2(x+y)}{2-x}
E) \frac{x+y}{2-x}

Passo 1

O enunciado diz que \log 4 = x e \log 7 = y e pede \log_{5}28. O conteúdo envolvido é mudança de base de logaritmos.

Passo 2

Pela fórmula de mudança de base, podemos escrever
\log_{5}28 = \frac{\log 28}{\log 5}.

Passo 3

Como 28 = 4\cdot7, temos
\log 28 = \log(4\cdot7) = \log 4 + \log 7 = x + y.

Passo 4

Para \log 5, note que 5 = 10/2, então
\log 5 = \log 10 - \log 2 = 1 - \log 2 = 1 - \frac{\log 4}{2} = 1 - \frac{x}{2} = \frac{2 - x}{2}.

Passo 5

Substituindo em \log_{5}28 = \frac{x+y}{\log 5}, vem
\log_{5}28 = \frac{x + y}{\tfrac{2 - x}{2}} = \frac{2(x + y)}{2 - x}.

Resposta

D) \displaystyle \frac{2(x+y)}{2-x}

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