Uma urna contém 5 bolas brancas, 4 vermelhas e 3 azuis. Extraem-se simultaneamente 3 bolas. Achar a probabilidade de que:
a. Nenhuma seja vermelha
b. Exatamente uma seja vermelha
c. Todas sejam da mesma cor.
a. Nenhuma seja vermelha
b. Exatamente uma seja vermelha
c. Todas sejam da mesma cor.
Passo 1
Vamos resolver um problema de probabilidade envolvendo combinações. Temos uma urna com 5 bolas brancas, 4 vermelhas e 3 azuis, totalizando 12 bolas. Vamos extrair 3 bolas de uma vez e calcular as probabilidades para diferentes cenários relacionados às bolas vermelhas.
Passo 2
Para resolver esse tipo de problema, usamos combinações, que nos dizem de quantas maneiras podemos escolher elementos de um conjunto sem se importar com a ordem. A fórmula da combinação é dada por:
onde
é o número total de elementos e
é o número de elementos a serem escolhidos.
A probabilidade será calculada dividindo o número de casos favoráveis pelo número total de casos possíveis.
Passo 3
a. Nenhuma seja vermelha
Queremos que nenhuma das 3 bolas extraídas seja vermelha. Isso significa que todas as bolas devem ser brancas ou azuis. Temos:
- Total de bolas que não são vermelhas: 5 brancas + 3 azuis = 8 bolas.
- Número total de maneiras de escolher 3 bolas de 12:
. - Número de maneiras de escolher 3 bolas que não são vermelhas:
.
Passo 4
Calculando a probabilidade:
Passo 5
b. Exatamente uma seja vermelha
Aqui, queremos que exatamente uma das bolas extraídas seja vermelha e as outras duas não. Temos:
- Número de maneiras de escolher 1 bola vermelha:
. - Número de maneiras de escolher 2 bolas que não são vermelhas:
. - Número total de casos favoráveis:
.
Passo 6
Calculando a probabilidade:
Passo 7
c. Todas sejam da mesma cor
Neste caso, as 3 bolas extraídas devem todas ser brancas, todas vermelhas ou todas azuis. Calculamos cada possibilidade:
- Todas brancas:
. - Todas vermelhas:
. - Todas azuis:
.
Somamos essas possibilidades para obter o número total de casos favoráveis.
Passo 8
Calculando a probabilidade:
Resposta
a. A probabilidade de nenhuma bola ser vermelha é
.
b. A probabilidade de exatamente uma bola ser vermelha é
.
c. A probabilidade de todas as bolas serem da mesma cor é
.