Usando como base a equação de van der Waals, mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem e primeira ordem de
em relação a
mantendo
constante, a partir da equação de van der Waals. A equação fornecida (forma canônica) é
Informações relevantes dadas:
O que precisa ser mostrado:
e
.
Passo 2
Conceitos e regras de diferenciação que vamos usar (explicação didática):
Isso vale para expoentes negativos também, por exemplo
. Para funções do tipo
usamos a regra da cadeia:
No nosso caso
tem derivada
. Como
são constantes quando diferenciamos em relação a
, podemos tratá-los como constantes multiplicativas.
Passo 3
Reescrevo a pressão de forma conveniente para derivar termo a termo:
Agora derivamos cada termo em relação a
, mantendo
constante.
Passo 4
Derivada do primeiro termo
:
Aplicando a regra da cadeia para
:
Portanto o contributo deste termo é
Passo 5
Derivada do segundo termo
:
Usando a regra de potências:
logo
Passo 6
Somando os dois contribuintes obtemos a derivada parcial primeira:
Passo 7
Agora vamos à derivada segunda: diferenciamos a expressão obtida para
em relação a
, novamente com
constante. Reescrevendo:
Passo 8
Derivada do primeiro termo da primeira derivada,
:
Aplicando regra da cadeia:
Portanto o contributo é
Passo 9
Derivada do segundo termo da primeira derivada,
:
Passo 10
Somando os dois contributos obtemos a derivada parcial segunda: