Usando uma calculadora, obtenha os logaritmos a seguir. Observe que o símbolo \ln \mathrm{x} representa o logaritmo neperiano de x , ou seja, o logaritmo de x na base e (onde e é uma constante matemática que vale aproximadamente 2,7182 \ldots ).
\log _{5} 30

Passo 1

O enunciado pede para calcular o logaritmo \log_{5} 30. As informações dadas são:
  • a base do logaritmo é 5;
  • o argumento do logaritmo é 30;
  • posso usar calculadora.

Passo 2

Lembrete do que é logaritmo (explicação passo a passo): se definimos
y=\log_{a} b,
isso significa exatamente que a potência de base a que dá b é y, ou seja
a^{y}=b.
Aqui a é a base (neste problema a=5), b é o número cujo logaritmo queremos (aqui b=30) e y é o valor do logaritmo que queremos achar.

Passo 3

Como a calculadora normalmente fornece logaritmos na base e (função \ln) ou na base 10 (função \log), usamos a fórmula de mudança de base. Começando de
y=\log_{5}30\quad\Longrightarrow\quad 5^{y}=30,
aplicando \ln em ambos os lados obtemos
\ln(5^{y})=\ln 30.
Pelo fato de \ln(5^{y})=y\ln 5, segue
y\ln 5=\ln 30.
Isolando y chega-se à fórmula de mudança de base:
\log_{5}30=\frac{\ln 30}{\ln 5}.
Aqui \ln 30 é o logaritmo neperiano de 30 e \ln 5 é o logaritmo neperiano de 5.

Passo 4

Agora uso a calculadora para obter os valores numéricos (peguei estes números na calculadora):
\ln 30 \approx 3,4011973816621558, \qquad \ln 5 \approx 1,6094379124341003.
Dividindo na calculadora:
\log_{5}30=\frac{\ln 30}{\ln 5}\approx\frac{3,4011973816621558}{1,6094379124341003}\approx 2,1132827525593785.
Se preferir, pode arredondar para menos casas significativas dependendo da precisão desejada (por exemplo, 2,113283 com 6 casas decimais).

Passo 5

Dica rápida para a prova: basta lembrar da mudança de base \log_{a}b=\dfrac{\ln b}{\ln a}. Na calculadora pode usar \ln (ou \log base 10) — o quociente dará o resultado correto. Respire fundo, faça a conta com calma e confie no procedimento!

Resposta

\log_{5}30 \approx 2,1132827525593785