Usando coordenadas polares, calcule:
integral duplaR x y d x d y, onde R é a região delimitada por x^24+ y^29=1;

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
integral duplaR x,y,dx,dy
em que R é a região do plano limitada pela elipse
x^24 + y^29 = 1
O conteúdo envolvido é a mudança para coordenadas polares generalizadas (uma transformação linear que “circuliza” a elipse).

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 2,rcostheta, y = 3,rsintheta,
onde theta varia de 0 a 2pi e r de 0 a 1. O Jacobiano dessa transformação é
J = det partial xpartial r & partial xpartial theta[6pt] partial ypartial r & partial ypartial theta = det 2costheta & -2rsintheta[6pt] 3sintheta & 3rcostheta = 6,r ]

Passo 3

Expressamos o integrando vezes o Jacobiano em termos de r,theta:
x,y,dx,dy = (2rcostheta),(3rsintheta),(6r,dr,dtheta) = 36,r^3,costheta,sintheta,dr,dtheta

Passo 4

O integral sobre R fica
integral duplaR x,y,dx,dy = integraltheta=0^2piintegralr=0^136,r^3,costheta,sintheta,dr,dtheta
Podemos separar as variáveis:
(integral0^136,r^3,dr) (integral0^2picostheta,sintheta,dtheta)

Passo 5

Calculamos cada parte. Primeiro
integral0^136,r^3,dr =36cdotr^44|0^1 =36cdot14 =9
Depois, note que
costheta,sintheta = tfrac12sin(2theta),
então
integral0^2picostheta,sintheta,dtheta = tfrac12integral0^2pisin(2theta),dtheta =0
pois o seno de período pi integrado em dois períodos dá zero.

Passo 6

Como a parte angular é zero, o valor total do integral é
9 times 0 = 0

Resposta

0

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