Usando coordenadas polares, calcule:
, onde
é a região delimitada por
;
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
em que
é a região do plano limitada pela elipse
O conteúdo envolvido é a mudança para coordenadas polares generalizadas (uma transformação linear que “circuliza” a elipse).
Passo 2
Fazemos a substituição
onde
varia de
a
e
de
a
. O Jacobiano dessa transformação é
Passo 3
Expressamos o integrando vezes o Jacobiano em termos de
r,theta :
Passo 4
O integral sobre
R fica
Podemos separar as variáveis:
Passo 5
Calculamos cada parte. Primeiro
Depois, note que
então
pois o seno de período
pi integrado em dois períodos dá zero.
Passo 6
Como a parte angular é zero, o valor total do integral é