Usando os dados para o alumínio na Tabela 3.1 (Callister), calcule o espaçamento interplanar para o conjunto de planos (110).
Metal
Estrutura Cristalina
Raio Atômico
(nm)
Metal
Estrutura Cristalina
Raio Atômico (nm)
Alumínio
CFC
0,1431
Níquel
CFC
0,1246
Cádmio
HC
0,1490
Ouro
CFC
0,1442
Chumbo
CFC
0,1750
Platina
CFC
0,1387
Cobalto
HC
0,1253
Prata
CFC
0,1445
Cobre
CFC
0,1278
Tântalo
CCC
0,1430
Cromo
CCC
0,1249
Titânio
HC
0,1445
Ferro (
)
CCC
0,1241
Tungstênio
CCC
0,1371
Molibdênio
CCC
0,1363
Zinco
HC
0,1332
cúbica de faces centradas;
hexagonal compacta;
cúbica de corpo centrado.
nanômetro (nm) equivale a 10-9 m; para converter de nanômetros para unidades de angstrons (
), multiplicar o valor em nanômetros por 10 .
| Metal | Estrutura Cristalina
|
Raio Atômico
|
Metal | Estrutura Cristalina | Raio Atômico (nm) |
| Alumínio | CFC | 0,1431 | Níquel | CFC | 0,1246 |
| Cádmio | HC | 0,1490 | Ouro | CFC | 0,1442 |
| Chumbo | CFC | 0,1750 | Platina | CFC | 0,1387 |
| Cobalto | HC | 0,1253 | Prata | CFC | 0,1445 |
| Cobre | CFC | 0,1278 | Tântalo | CCC | 0,1430 |
| Cromo | CCC | 0,1249 | Titânio
|
HC | 0,1445 |
| Ferro (
|
CCC | 0,1241 | Tungstênio | CCC | 0,1371 |
| Molibdênio | CCC | 0,1363 | Zinco | HC | 0,1332 |
Passo 1
O enunciado pede: calcular o espaçamento interplanar para o conjunto de planos
do alumínio, usando o raio atômico fornecido na tabela.
Informações relevantes fornecidas (peguei da tabela enviada):
Informações relevantes fornecidas (peguei da tabela enviada):
- Para o alumínio, o raio atômico é
. - A estrutura cristalina do alumínio é CFC (cúbica de faces centradas).
A tarefa é, portanto, encontrar(o espaçamento entre planos ) para uma rede CFC com o raio atômico acima.
Passo 2
Entender a geometria CFC e a relação entre o raio atômico
e o parâmetro de rede
. Vou explicar isso passo a passo de um jeito bem visual.
Na estrutura CFC os átomos tocam-se ao longo da diagonal da face do cubo. Se desenhar a diagonal de uma face do cubo, ao longo dessa diagonal há: um átomo no vértice, o átomo centrado na face e o átomo no vértice oposto. Esses três átomos tocam-se sequencialmente, de modo que a distância entre os centros dos dois vértices ao longo da diagonal da face é igual a
(cada contato corresponde a
, e há dois contatos ao atravessar a face). O comprimento da diagonal de uma face em termos do parâmetro de rede
é
. Portanto vale a igualdade
Desse modo isolamos
:
Aqui:
-
é o raio atômico (distância do centro do átomo até a “superfície” da esfera que o representa), -
é o parâmetro da célula unitária cúbica (aresta do cubo).
Passo 3
Calcular numericamente o parâmetro de rede
usando
.
Usando a fórmula obtida,
Substituindo
:
Para avaliar numericamente, note que
. Então
Convertendo para angströms (lembrando que
):
Passo 4
Apresentar a fórmula geral do espaçamento interplanar para cristais cúbicos e explicar o que cada símbolo significa.
Para uma rede cúbica (seja CFC, CCC ou cúbica simples) o espaçamento entre planos de índices de Miller
é dado por
onde:
-
é o espaçamento interplanar dos planos , -
é o parâmetro de rede (aresta do cubo), -
são os índices de Miller do conjunto de planos considerados.
Essa fórmula vem da geometria do reticulado cúbico e dá a distância entre planos paralelos com aqueles índices.
Passo 5
Aplicar a fórmula ao conjunto
.
Para
temos
,
,
. Então
Portanto
Substituindo a relação
que encontramos no Passo 2, obtemos uma expressão simples:
Ou seja, para uma rede CFC o espaçamento entre os planos
é exatamente
vezes o raio atômico — resultado elegante e útil na prova.
Passo 6
Calcular numericamente
usando
.
Como
, temos
Em angströms:
pois
.