Usando os dados para o alumínio na Tabela 3.1 (Callister), calcule o espaçamento interplanar para o conjunto de planos (110).
Metal Estrutura Cristalina { }^{a} Raio Atômico { }^{b} (nm) Metal Estrutura Cristalina Raio Atômico (nm)
Alumínio CFC 0,1431 Níquel CFC 0,1246
Cádmio HC 0,1490 Ouro CFC 0,1442
Chumbo CFC 0,1750 Platina CFC 0,1387
Cobalto HC 0,1253 Prata CFC 0,1445
Cobre CFC 0,1278 Tântalo CCC 0,1430
Cromo CCC 0,1249 Titânio (\alpha) HC 0,1445
Ferro ( \alpha ) CCC 0,1241 Tungstênio CCC 0,1371
Molibdênio CCC 0,1363 Zinco HC 0,1332
{ }^{a} \mathrm{CFC}= cúbica de faces centradas;
\mathrm{HC}= hexagonal compacta;
\mathrm{CCC}= cúbica de corpo centrado.
{ }^{b} \mathrm{Um} nanômetro (nm) equivale a 10-9 m; para converter de nanômetros para unidades de angstrons ( \AA ), multiplicar o valor em nanômetros por 10 .

Passo 1

O enunciado pede: calcular o espaçamento interplanar para o conjunto de planos (110) do alumínio, usando o raio atômico fornecido na tabela.
Informações relevantes fornecidas (peguei da tabela enviada):
  • Para o alumínio, o raio atômico é R = 0,1431\\ \text{nm}.
  • A estrutura cristalina do alumínio é CFC (cúbica de faces centradas).
    A tarefa é, portanto, encontrar d_{110} (o espaçamento entre planos (110)) para uma rede CFC com o raio atômico acima.

Passo 2

Entender a geometria CFC e a relação entre o raio atômico R e o parâmetro de rede a. Vou explicar isso passo a passo de um jeito bem visual.
Na estrutura CFC os átomos tocam-se ao longo da diagonal da face do cubo. Se desenhar a diagonal de uma face do cubo, ao longo dessa diagonal há: um átomo no vértice, o átomo centrado na face e o átomo no vértice oposto. Esses três átomos tocam-se sequencialmente, de modo que a distância entre os centros dos dois vértices ao longo da diagonal da face é igual a 4R (cada contato corresponde a 2R, e há dois contatos ao atravessar a face). O comprimento da diagonal de uma face em termos do parâmetro de rede a é a\sqrt{2}. Portanto vale a igualdade
a\sqrt{2}=4R.
Desse modo isolamos a:
a=\dfrac{4R}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\,R.
Aqui:
  • R é o raio atômico (distância do centro do átomo até a “superfície” da esfera que o representa),
  • a é o parâmetro da célula unitária cúbica (aresta do cubo).

Passo 3

Calcular numericamente o parâmetro de rede a usando R=0,1431\\ \text{nm}.
Usando a fórmula obtida,
a=2\sqrt{2}\,R.
Substituindo R:
a=2\sqrt{2}\times 0,1431\\ \text{nm}.
Para avaliar numericamente, note que 2\sqrt{2}\approx 2,828427. Então
a\approx 2,828427\times 0,1431\\ \text{nm}\approx 0,4047479\\ \text{nm}.
Convertendo para angströms (lembrando que 1\\ \text{nm}=10\\ \text{\AA}):
a\approx 4,047479\\ \text{\AA}.

Passo 4

Apresentar a fórmula geral do espaçamento interplanar para cristais cúbicos e explicar o que cada símbolo significa.
Para uma rede cúbica (seja CFC, CCC ou cúbica simples) o espaçamento entre planos de índices de Miller (hkl) é dado por
d_{hkl}=\dfrac{a}{\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}},
onde:
  • d_{hkl} é o espaçamento interplanar dos planos (hkl),
  • a é o parâmetro de rede (aresta do cubo),
  • h,k,l são os índices de Miller do conjunto de planos considerados.
    Essa fórmula vem da geometria do reticulado cúbico e dá a distância entre planos paralelos com aqueles índices.

Passo 5

Aplicar a fórmula ao conjunto (110).
Para (110) temos h=1, k=1, l=0. Então
\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}}=\sqrt{2}.
Portanto
d_{110}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}.
Substituindo a relação a=2\sqrt{2}\,R que encontramos no Passo 2, obtemos uma expressão simples:
d_{110}=\dfrac{2\sqrt{2}\,R}{\sqrt{2}}=2R.
Ou seja, para uma rede CFC o espaçamento entre os planos (110) é exatamente 2 vezes o raio atômico — resultado elegante e útil na prova.

Passo 6

Calcular numericamente d_{110} usando R=0,1431\\ \text{nm}.
Como d_{110}=2R, temos
d_{110}=2\times 0,1431\\ \text{nm}=0,2862\\ \text{nm}.
Em angströms:
d_{110}=2\times 1,431\\ \text{\AA}=2,862\\ \text{\AA},
pois 0,1431\\ \text{nm}=1,431\\ \text{\AA}.

Resposta

d_{110}=0,2862\\ \text{nm}=2,862\\ \text{\AA}

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