Para qual conjunto de planos cristalográficos do níquel (Ni) com estrutura cristalina CFC ocorrerá um pico de difração de primeira ordem em um ângulo de difração de
quando se usa uma radiação monocromática com comprimento de onda de
?
Passo 1
O enunciado pede: identificar qual conjunto de planos cristalográficos
do níquel (Ni) com estrutura cúbica de faces centradas (CFC, ou FCC) dará origem a um pico de difração de primeira ordem quando se usa radiação monocromática de comprimento de onda
e o ângulo de difração observado (Bragg) é
.
Informações dadas:
- Ângulo de difração:
. - Comprimento de onda:
. - Ordem da reflexão: primeira ordem (
). - Estrutura cristalina: CFC (FCC).
- Usarei o parâmetro de rede do níquel em temperatura ambiente como valor tabulado:
(valor padrão usado em problemas/tabelas).
O que preciso encontrar: os índices de Miller
do plano que satisfazem Bragg para os dados acima, respeitando as condições de seleção (regras de reflexão) da estrutura CFC.
Passo 2
Recordando a lei de Bragg (a base do cálculo). A lei de Bragg relaciona o espaçamento entre planos cristalográficos
, o ângulo de difração
, o comprimento de onda
e a ordem
:
Aqui:
-
é a distância entre planos , -
é o ângulo de Bragg (o enunciado deu ), -
é a ordem (aqui ), -
é o comprimento de onda.
Como queremos primeira ordem (
), podemos isolar
:
Vou calcular
usando os valores fornecidos.
Passo 3
Cálculo do seno do ângulo e do espaçamento
.
Primeiro, o seno:
(esse valor foi obtido por cálculo trigonométrico; mostro os passos principais se quiser confirmar com calculadora.)
Agora
:
Portanto o espaçamento entre planos que satisfaz Bragg para esses dados é aproximadamente
.
Passo 4
Relação entre
e índices de Miller em rede cúbica. Para uma rede cúbica (como a CFC) vale:
onde:
-
é a constante de rede (para Ni usei ), -
são os índices de Miller, -
é o espaçamento entre os planos .
Isolando
:
Vou calcular esse valor numérico.
Passo 5
Cálculo de
com os números obtidos:
logo
Como
deve ser um inteiro (soma de quadrados de inteiros), o valor calculado indica que o inteiro mais próximo seria
. Portanto o conjunto de quadrados ideal correspondente seria
, que provêm de combinações como
e permutações.
Passo 6
Condição de seleção para reflexões na estrutura CFC (importante e determinante). Para cristal CFC só aparecem reflexões quando os índices
têm paridade não misturada: isto é, todos três índices são todos pares ou todos ímpares. Em outras palavras:
- Reflexões permitidas:
todos pares, ou todos ímpares. - Reflexões com paridade mista (por exemplo
— dois ímpares e um par) são proibidas (intensidade zero devido ao fator de estrutura).
Agora compare o inteiro obtido com as somas possíveis que respeitam essa regra:
- Valores possíveis (pequenos) de
permitidos para CFC: (para ), (para ), (para ), (para ), (para ), (para ), etc. - Observa-se que
NÃO está nessa lista de valores permitidos para CFC: corresponde a (ou permutações), que é uma combinação de índices de paridade mista e, portanto, proibida.
Passo 7
Interpretação final do resultado numérico e físico:
- O cálculo bruto a partir de Bragg deu
, indicando que o inteiro mais próximo é , correspondente a (permutações). - Porém
é uma reflexão proibida na rede CFC (paridade mista). Portanto NÃO existe um pico de primeira ordem proveniente de um plano permitido da rede CFC que ocorra exatamente em com se a constante de rede for . - Para confirmar, os reflexos permitidos mais próximos seriam:
-
com → ângulo calculado , -
com → ângulo calculado .
O ângulo observado () não coincide com nenhum desses refletidos permitidos.
-
- Conclusão prática: com os dados fornecidos não há um conjunto
permitido pela condição de seleção CFC que gere um pico de primeira ordem em . O valor calculado corresponde a uma reflexão proibida .
Resposta
Nenhum — o cálculo dá
(correspondente a
), que é proibido para CFC; portanto não há plano permitido que produza pico de 1.ª ordem a
com
.