Para qual conjunto de planos cristalográficos do níquel (Ni) com estrutura cristalina CFC ocorrerá um pico de difração de primeira ordem em um ângulo de difração de 44,53^{\circ} quando se usa uma radiação monocromática com comprimento de onda de 0,1542 \mathrm{~nm} ?

Passo 1

O enunciado pede: identificar qual conjunto de planos cristalográficos (hkl) do níquel (Ni) com estrutura cúbica de faces centradas (CFC, ou FCC) dará origem a um pico de difração de primeira ordem quando se usa radiação monocromática de comprimento de onda \lambda=0,1542\\ \mathrm{nm} e o ângulo de difração observado (Bragg) é \;44,53^\circ.
Informações dadas:
  • Ângulo de difração: \;44,53^\circ.
  • Comprimento de onda: \;\lambda=0,1542\\ \mathrm{nm}.
  • Ordem da reflexão: primeira ordem ( n=1).
  • Estrutura cristalina: CFC (FCC).
  • Usarei o parâmetro de rede do níquel em temperatura ambiente como valor tabulado: \;a=0,352\\ \mathrm{nm} (valor padrão usado em problemas/tabelas).
O que preciso encontrar: os índices de Miller (hkl) do plano que satisfazem Bragg para os dados acima, respeitando as condições de seleção (regras de reflexão) da estrutura CFC.

Passo 2

Recordando a lei de Bragg (a base do cálculo). A lei de Bragg relaciona o espaçamento entre planos cristalográficos d, o ângulo de difração \theta, o comprimento de onda \lambda e a ordem n:
2 d \sin\theta = n\lambda.
Aqui:
  • d é a distância entre planos (hkl),
  • \theta é o ângulo de Bragg (o enunciado deu \;44,53^\circ),
  • n é a ordem (aqui n=1),
  • \lambda é o comprimento de onda.
Como queremos primeira ordem ( n=1), podemos isolar d:
d=\frac{\lambda}{2\sin\theta}.
Vou calcular d usando os valores fornecidos.

Passo 3

Cálculo do seno do ângulo e do espaçamento d.
Primeiro, o seno:
\sin\theta=\sin(44,53^\circ)\approx 0,70091.
(esse valor foi obtido por cálculo trigonométrico; mostro os passos principais se quiser confirmar com calculadora.)
Agora d:
d=\frac{0,1542\\ \mathrm{nm}}{2\cdot 0,70091}=\frac{0,1542}{1,40182}\\ \mathrm{nm}\approx 0,1100\\ \mathrm{nm}.
Portanto o espaçamento entre planos que satisfaz Bragg para esses dados é aproximadamente \;d\approx 0,1100\\ \mathrm{nm}.

Passo 4

Relação entre d e índices de Miller em rede cúbica. Para uma rede cúbica (como a CFC) vale:
d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}},
onde:
  • a é a constante de rede (para Ni usei a=0,352\\ \mathrm{nm}),
  • h,k,l são os índices de Miller,
  • d_{hkl} é o espaçamento entre os planos (hkl).
Isolando h^2+k^2+l^2:
h^2+k^2+l^2=\left(\frac{a}{d}\right)^2.
Vou calcular esse valor numérico.

Passo 5

Cálculo de h^2+k^2+l^2 com os números obtidos:
\frac{a}{d}=\frac{0,352\\ \mathrm{nm}}{0,1100\\ \mathrm{nm}}\approx 3,20,
logo
h^2+k^2+l^2\approx (3,20)^2\approx 10,24.
Como h^2+k^2+l^2 deve ser um inteiro (soma de quadrados de inteiros), o valor calculado indica que o inteiro mais próximo seria 10. Portanto o conjunto de quadrados ideal correspondente seria h^2+k^2+l^2=10, que provêm de combinações como (3,1,0) e permutações.

Passo 6

Condição de seleção para reflexões na estrutura CFC (importante e determinante). Para cristal CFC só aparecem reflexões quando os índices (h,k,l) têm paridade não misturada: isto é, todos três índices são todos pares ou todos ímpares. Em outras palavras:
  • Reflexões permitidas: h,k,l todos pares, ou h,k,l todos ímpares.
  • Reflexões com paridade mista (por exemplo 3,1,0 — dois ímpares e um par) são proibidas (intensidade zero devido ao fator de estrutura).
Agora compare o inteiro obtido com as somas possíveis que respeitam essa regra:
  • Valores possíveis (pequenos) de h^2+k^2+l^2 permitidos para CFC: 3 (para (1,1,1)), 4 (para (2,0,0)), 8 (para (2,2,0)), 11 (para (3,1,1)), 12 (para (2,2,2)), 16 (para (4,0,0)), etc.
  • Observa-se que 10 NÃO está nessa lista de valores permitidos para CFC: 10 corresponde a (3,1,0) (ou permutações), que é uma combinação de índices de paridade mista e, portanto, proibida.

Passo 7

Interpretação final do resultado numérico e físico:
  • O cálculo bruto a partir de Bragg deu h^2+k^2+l^2\approx 10,24, indicando que o inteiro mais próximo é 10, correspondente a (3,1,0) (permutações).
  • Porém (3,1,0) é uma reflexão proibida na rede CFC (paridade mista). Portanto NÃO existe um pico de primeira ordem proveniente de um plano permitido da rede CFC que ocorra exatamente em \;44,53^\circ com \lambda=0,1542\\ \mathrm{nm} se a constante de rede for a=0,352\\ \mathrm{nm}.
  • Para confirmar, os reflexos permitidos mais próximos seriam:
    • (2,2,0) com h^2+k^2+l^2=8 → ângulo calculado \theta\approx 38,3^\circ,
    • (3,1,1) com h^2+k^2+l^2=11 → ângulo calculado \theta\approx 46,2^\circ.
      O ângulo observado ( 44,53^\circ) não coincide com nenhum desses refletidos permitidos.
  • Conclusão prática: com os dados fornecidos não há um conjunto (hkl) permitido pela condição de seleção CFC que gere um pico de primeira ordem em 44,53^\circ. O valor calculado corresponde a uma reflexão proibida (3\,1\,0).

Resposta

Nenhum — o cálculo dá h^2+k^2+l^2\approx 10{,}24 (correspondente a (3\,1\,0)), que é proibido para CFC; portanto não há plano permitido que produza pico de 1.ª ordem a 44{,}53^\circ com \lambda=0{,}1542\\ \mathrm{nm}.

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