Usando a definição fasorial de potência por fase, escreva a potência reativa total:
Q_{T}=\operatorname{Im}\left\{V_{a} I_{a}^{*}+V_{b} I_{b}^{*}+V_{c} I_{c}^{*}\right\}
\operatorname{Com} I_{a}+I_{b}+I_{c}=0 e V_{a b}=V_{a}-V_{b}, V_{c b}=V_{c}-V_{b}, mostre que
Q_{T}=\operatorname{Im}\left\{V_{a b} I_{a}^{*}+V_{c b} I_{c}^{*}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a potência reativa total dada por
Q_{T}=\operatorname{Im}\left\{V_{a} I_{a}^{*}+V_{b} I_{b}^{*}+V_{c} I_{c}^{*}\right\}
pode ser escrita como
Q_{T}=\operatorname{Im}\left\{V_{a b} I_{a}^{*}+V_{c b} I_{c}^{*}\right\},
sabendo-se as duas informações seguintes fornecidas pelo enunciado:
I_{a}+I_{b}+I_{c}=0
e
V_{a b}=V_{a}-V_{b},\qquad V_{c b}=V_{c}-V_{b}.
Listei aqui explicitamente a expressão inicial de Q_{T} e as relações entre as correntes e tensões que podemos usar.

Passo 2

Pequena revisão/lembrança de propriedades que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas):
  • A conjugação complexa é linear sobre soma e obedece (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*} e (kx)^{*}=k^{*}x^{*}. No nosso caso k será um número real ou outra variável cuja conjugada é tratada adequadamente; para as correntes, (I_b)^{*}=I_b^{*}.
  • A parte imaginária é linear: para quaisquer complexos Z_1,Z_2 vale \operatorname{Im}\{Z_1+Z_2\}=\operatorname{Im}\{Z_1\}+\operatorname{Im}\{Z_2\}.
  • Se uma relação entre correntes é I_{a}+I_{b}+I_{c}=0, então conjugando obtemos I_{a}^{*}+I_{b}^{*}+I_{c}^{*}=0, ou seja
I_{b}^{*}=-I_{a}^{*}-I_{c}^{*},
que é a forma que usaremos para substituir em Q_{T}.

Passo 3

Substituímos I_{b}^{*} em Q_{T} usando a relação obtida:
Q_{T}=\operatorname{Im}\left\{V_{a} I_{a}^{*}+V_{b} I_{b}^{*}+V_{c} I_{c}^{*}\right\} =\operatorname{Im}\left\{V_{a} I_{a}^{*}+V_{b}\big(-I_{a}^{*}-I_{c}^{*}\big)+V_{c} I_{c}^{*}\right\}.

Passo 4

Fazemos a distribuição e agrupamento termo a termo (mostrando cada pequena conta):
\begin{aligned} Q_{T} &=\operatorname{Im}\left\{V_{a} I_{a}^{*}-V_{b} I_{a}^{*}-V_{b} I_{c}^{*}+V_{c} I_{c}^{*}\right\}\\[4pt] &=\operatorname{Im}\left\{\big(V_{a}-V_{b}\big)I_{a}^{*}+\big(V_{c}-V_{b}\big)I_{c}^{*}\right\}. \end{aligned}]

Passo 5

Agora usamos as definições das tensões de linha fornecidas no enunciado:
V_{a b}=V_{a}-V_{b},\qquad V_{c b}=V_{c}-V_{b}.
Substituindo essas expressões dentro da parte imaginária obtemos
Q_{T}=\operatorname{Im}\left\{V_{a b} I_{a}^{*}+V_{c b} I_{c}^{*}\right\},
que é exatamente a igualdade que queríamos demonstrar.

Resposta

Q_{T}=\operatorname{Im}\left\{V_{a b} I_{a}^{*}+V_{c b} I_{c}^{*}\right\}

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