O lado P de uma junção PN tem concentração de dopantes aceitadores N_{A}=5 \cdot 10^{15} \mathrm{~cm}^{-3} e região de depleção com 0,1 \mu m de profundidade. Considere que a seção transversal da junção tem área A_{j}=1 \mu m^{2}, e responda os itens a seguir.
a) Determine a quantidade de carga - em módulo - armazenada no lado P da junção.
b) Considerando que a junção tenha 5 nm de profundidade no lado N , determine as concentrações de elétrons e de lacunas em cada lado da junção.
c) Ainda com a condição especificada na letra (b), determine o potencial da barreira da junção à temperatura ambiente, V_{0}.

Passo 1

O enunciado pede 3 coisas (a, b e c) para uma junção PN com os dados abaixo. Vou listar exatamente o que é pedido e os dados fornecidos sem resolver nada ainda.
Dados fornecidos:
N_{A}=5\cdot10^{15}\,\mathrm{cm^{-3}} (concentração de aceitadores no lado P)\n
profundidade da região de depleção no lado P: W_{p}=0{,}1\\ \mu\mathrm{m}\n
área transversal da junção: A_{j}=1\\ \mu\mathrm{m}^{2}\n
profundidade da região de depleção no lado N (usada nas letras b e c): W_{n}=5\\ \mathrm{nm}\n
Perguntas:
a) Determinar a quantidade de carga (módulo) armazenada no lado P da junção.\n
b) Considerando W_{n}=5\\ \mathrm{nm}, determinar as concentrações de elétrons e de lacunas em cada lado da junção (ou seja, as concentrações majoritárias e minoritárias em P e em N).\n
c) Com a condição de (b), determinar o potencial de barreira da junção à temperatura ambiente V_{0}.\n
Observação: nenhuma hipótese adicional foi dada no enunciado; na resolução vou assumir material típico (silício) e temperatura ambiente T\approx300\\ \mathrm{K} quando for necessário usar n_{i} ou kT/q; isso será explicitado quando usado.

Passo 2

Resolvendo (a): expressão física e significado das grandezas.\n
Na região de depleção do lado P as aceitadoras ficam ionizadas negativamente; a carga total (algebraica) no lado P é
Q_{P} = -q\;N_{A}\;A_{j}\;W_{p},
onde q é a carga elementar, N_{A} é a densidade de aceitadores (em \mathrm{cm^{-3}}), A_{j} é a área da junção (em \mathrm{cm^{2}}) e W_{p} é a profundidade da depleção no lado P (em \mathrm{cm}).\n
O enunciado pede o módulo da carga armazenada, então usaremos |Q_{P}|=q\,N_{A}\,A_{j}\,W_{p}.\n
Antes de calcular, preciso converter as unidades dadas ( \mu\mathrm{m}, \mu\mathrm{m}^{2}) para \mathrm{cm} e \mathrm{cm^{2}}, porque N_{A} está em \mathrm{cm^{-3}}.\n

Passo 3

Conversões de unidades e cálculo numérico de (a).\n
Converter \mu\mathrm{m} e \mu\mathrm{m}^{2} para \mathrm{cm} e \mathrm{cm^{2}}:\n
1\\ \mu\mathrm{m}=10^{-4}\\ \mathrm{cm}, \qquad 1\\ \mu\mathrm{m}^{2}=(10^{-4}\\ \mathrm{cm})^{2}=10^{-8}\\ \mathrm{cm^{2}}.
Logo
W_{p}=0{,}1\\ \mu\mathrm{m}=0{,}1\times10^{-4}\\ \mathrm{cm}=1\cdot10^{-5}\\ \mathrm{cm},
A_{j}=1\\ \mu\mathrm{m}^{2}=1\cdot10^{-8}\\ \mathrm{cm^{2}}.
Volume da região de depleção no lado P:
V_{P}=A_{j}W_{p}=1\cdot10^{-8}\times1\cdot10^{-5}=1\cdot10^{-13}\\ \mathrm{cm^{3}}.
Número de cargas ionizadas (aceitadores) na região:
N_{\text{ions}}=N_{A}V_{P}=5\cdot10^{15}\times1\cdot10^{-13}=5\cdot10^{2}=500.
Carga elementar (valor numérico que usarei):
q=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
Portanto o módulo da carga armazenada no lado P é
|Q_{P}|=N_{\text{ions}}\;q=500\times1{,}602\times10^{-19}=8{,}01\times10^{-17}\\ \mathrm{C}.

Passo 4

Resolvendo (b): deduzir N_{D} a partir da neutralidade de carga na depleção e interpretar concentrações majoritárias/minoritárias.\n
Em equilíbrio, a carga negativa total no lado P (módulo) é igual à carga positiva total no lado N (módulo):
q\,N_{A}\,A_{j}\,W_{p}=q\,N_{D}\,A_{j}\,W_{n}.
Cancelando q e A_{j} obtemos a relação de equilíbrio das larguras e concentrações:
N_{A}W_{p}=N_{D}W_{n}\quad\Rightarrow\quad N_{D}=\frac{N_{A}W_{p}}{W_{n}}.
Essa é uma relação muito usada: ela diz que, para que as cargas se equilibrem, se um lado tem baixa dopagem precisa de uma largura maior, e vice-versa.\n
Depois de encontrar N_{D}, as concentrações de portadores em equilíbrio térmico (em regiões fora da depleção, onde o semicondutor é neutro) satisfazem: as concentrações majority são aproximadamente p_{P}\approx N_{A} no lado P e n_{N}\approx N_{D} no lado N; as minoritárias obedecem à lei da ação de massa
n\,p=n_{i}^{2},
onde n_{i} é a concentração intrínseca (vou assumir silício a T=300\\ \mathrm{K} com n_{i}=1{,}5\cdot10^{10}\\ \mathrm{cm^{-3}}).\n
Assim, as minoritárias são calculadas por
n_{P}=\frac{n_{i}^{2}}{N_{A}}, \qquad p_{N}=\frac{n_{i}^{2}}{N_{D}}.

Passo 5

Cálculo numérico de N_{D} usando W_{n}=5\\ \mathrm{nm} e valores já convertidos.\n
Converter W_{n} para \mathrm{cm}:
1\\ \mathrm{nm}=10^{-7}\\ \mathrm{cm},\quad W_{n}=5\\ \mathrm{nm}=5\cdot10^{-7}\\ \mathrm{cm}.
Já temos W_{p}=1\cdot10^{-5}\\ \mathrm{cm}. Então
N_{D}=\frac{N_{A}W_{p}}{W_{n}} =\frac{5\cdot10^{15}\times1\cdot10^{-5}}{5\cdot10^{-7}} =5\cdot10^{15}\times\frac{1\cdot10^{-5}}{5\cdot10^{-7}}.
Calcule o fator:
\frac{1\cdot10^{-5}}{5\cdot10^{-7}}=\frac{10^{-5}}{5\cdot10^{-7}}=\frac{10^{-5}}{5\times10^{-7}}= \frac{10^{-5}}{5\cdot10^{-7}}=20.
Logo
N_{D}=5\cdot10^{15}\times20=1\cdot10^{17}\\ \mathrm{cm^{-3}}.

Passo 6

Cálculo das concentrações majoritárias e minoritárias usando a lei da ação de massa.\n
Assumo n_{i}=1{,}5\cdot10^{10}\\ \mathrm{cm^{-3}} (silício a 300\\ \mathrm{K}). Então
n_{i}^{2}=(1{,}5\cdot10^{10})^{2}=2{,}25\cdot10^{20}\\ \mathrm{cm^{-6}}.
No lado P (fora da depleção): concentração de lacunas (majoritária)
p_{P}\approx N_{A}=5\cdot10^{15}\\ \mathrm{cm^{-3}}.
concentração de elétrons (minoritária)
n_{P}=\frac{n_{i}^{2}}{N_{A}}=\frac{2{,}25\cdot10^{20}}{5\cdot10^{15}}=4{,}5\cdot10^{4}\\ \mathrm{cm^{-3}}.
No lado N (fora da depleção): concentração de elétrons (majoritária)
n_{N}\approx N_{D}=1\cdot10^{17}\\ \mathrm{cm^{-3}}.
concentração de lacunas (minoritária)
p_{N}=\frac{n_{i}^{2}}{N_{D}}=\frac{2{,}25\cdot10^{20}}{1\cdot10^{17}}=2{,}25\cdot10^{3}\\ \mathrm{cm^{-3}}.

Passo 7

Resolvendo (c): fórmula do potencial de barreira e significado das constantes.\n
O potencial de barreira em equilíbrio térmico (built-in potential) para uma junção abrupta é dado por
V_{0}=\frac{kT}{q}\ln\!\left(\frac{N_{A}N_{D}}{n_{i}^{2}}\right),
onde k é a constante de Boltzmann, T a temperatura absoluta, q a carga elementar e n_{i} a concentração intrínseca.\n
A razão kT/q é a tensão térmica V_{T}. À temperatura ambiente ( T\approx300\\ \mathrm{K}) usamos V_{T}\approx0{,}02585\\ \mathrm{V}. Vou substituir os valores encontrados: N_{A}=5\cdot10^{15}, N_{D}=1\cdot10^{17} e n_{i}=1{,}5\cdot10^{10}. Primeiro calculemos o argumento do logaritmo.

Passo 8

Cálculo numérico de V_{0}.\n
Produto N_{A}N_{D}=5\cdot10^{15}\times1\cdot10^{17}=5\cdot10^{32}.\n
Já calculamos n_{i}^{2}=2{,}25\cdot10^{20}.\n
Razão:
\frac{N_{A}N_{D}}{n_{i}^{2}}=\frac{5\cdot10^{32}}{2{,}25\cdot10^{20}}=\frac{5}{2{,}25}\cdot10^{12}=2{,}222\overline{2}\cdot10^{12}.
Logaritmo natural:
\ln\!\left(2{,}222\overline{2}\cdot10^{12}\right)\approx28{,}4295.
Multiplicando por V_{T}=0{,}02585\\ \mathrm{V}:
V_{0}=0{,}02585\times28{,}4295\approx0{,}7349\\ \mathrm{V}\approx0{,}735\\ \mathrm{V}.

Resposta

(a) |Q_{P}|=8{,}01\cdot10^{-17}\\ \mathrm{C}\n
(b) P (lado P): elétrons n_{P}=4{,}5\cdot10^{4}\\ \mathrm{cm^{-3}}, lacunas p_{P}=5\cdot10^{15}\\ \mathrm{cm^{-3}};\nN (lado N): elétrons n_{N}=1\cdot10^{17}\\ \mathrm{cm^{-3}}, lacunas p_{N}=2{,}25\cdot10^{3}\\ \mathrm{cm^{-3}}\n
(c) V_{0}=0{,}735\\ \mathrm{V}

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