Usando a definição do versor ou vetor unitário determinar \beta nos seguintes vetores e encontrar esses vetores:
\vec{u}=\left(\frac{1}{3}, \beta,-\frac{5}{4}\right).

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{u}=\left(\dfrac{1}{3},\beta,-\dfrac{5}{4}\right) e pede para determinar \beta usando a definição de versor (vetor unitário) e encontrar os vetores resultantes.
Informações relevantes fornecidas:
  • As componentes do vetor são u_1=\dfrac{1}{3}, u_2=\beta e u_3=-\dfrac{5}{4}.
  • Quer-se que \vec{u} seja um versor, ou seja, tenha norma igual a 1.

Passo 2

Lembrete didático: definição de versor e norma euclidiana em \mathbb{R}^3.
  • Um vetor \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) é um versor quando sua norma vale 1.
  • A norma euclidiana (módulo) de \vec{v} é dada por
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}.
Portanto a condição de versor é
\|\vec{v}\|=1 \quad\Longleftrightarrow\quad v_1^2+v_2^2+v_3^2=1.
Aqui vamos aplicar isso a \vec{u}: substituir v_1=\dfrac{1}{3}, v_2=\beta, v_3=-\dfrac{5}{4}.

Passo 3

Escrever a equação que \beta deve satisfazer, substituindo as componentes:
\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}+\beta^{2}+\left(-\dfrac{5}{4}\right)^{2}=1.
Calcular os quadrados das componentes conhecidas:
\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}=\dfrac{1}{9}, \qquad \left(-\dfrac{5}{4}\right)^{2}=\dfrac{25}{16}.
Então a equação fica
\dfrac{1}{9}+\beta^{2}+\dfrac{25}{16}=1.

Passo 4

Somar as frações constantes com denominador comum para isolar \beta^{2}. Escolhendo o denominador comum 144:
\dfrac{1}{9}=\dfrac{16}{144},\qquad \dfrac{25}{16}=\dfrac{225}{144}.
Somando:
\dfrac{1}{9}+\dfrac{25}{16}=\dfrac{16}{144}+\dfrac{225}{144}=\dfrac{241}{144}.
Logo
\beta^{2}=1-\dfrac{241}{144}=\dfrac{144}{144}-\dfrac{241}{144}=-\dfrac{97}{144}.

Passo 5

Interpretação e conclusão (parte real): obtivemos
\beta^{2}=-\dfrac{97}{144}.
Como o lado direito é negativo, não existe nenhum \beta real que satisfaça essa igualdade. Portanto não existe \beta\in\mathbb{R} que torne \vec{u} um versor em \mathbb{R}^3.
Comentário adicional (opcional): se aceitarmos escala complexa, podemos escrever as soluções complexas:
\beta=\pm\sqrt{-\dfrac{97}{144}}=\pm \dfrac{i\sqrt{97}}{12},
e os vetores unitários complexos seriam
\vec{u}=\left(\dfrac{1}{3},\,\pm \dfrac{i\sqrt{97}}{12},\,-\dfrac{5}{4}\right).

Resposta

Não existe \beta real que torne \vec{u} um versor.
Se admitir números complexos: \displaystyle \beta=\pm \dfrac{i\sqrt{97}}{12} e \displaystyle \vec{u}=\left(\dfrac{1}{3},\,\pm \dfrac{i\sqrt{97}}{12},\,-\dfrac{5}{4}\right).