Usando derivação, integração, desvio \boldsymbol{s} ou a convolução (e mostrand os detalhes do que fizer), encontre f(t) se \mathscr{L}(f) for igual a:
\frac{6}{(s+1)^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace de uma função f e pede para encontrar f(t). Dados e pedido:
\mathscr{L}\{f\}(s)=\frac{6}{(s+1)^{2}}.
Pergunta: encontrar f(t) (a função no tempo cuja transformada é a expressão acima). Não há outros dados.

Passo 2

Relembrando definições e propriedades úteis (explicando cada símbolo):
  • Definição da transformada de Laplace: para uma função g(t) (com t\ge 0),
\mathscr{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,g(t)\,dt,
onde s é a variável complexa da transformada e a integral converge para valores de \Re(s) adequados.
  • Linearidade: se c é constante e g função, então
\mathscr{L}\{c\,g(t)\}(s)=c\,\mathscr{L}\{g\}(s).
  • Transformada básica de potências: para inteiro n\ge 0,
\mathscr{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}},
isto é, por exemplo,
\mathscr{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}}.
  • Teorema do desvio (shift in s): se G(s)=\mathscr{L}\{g\}(s) então, para a real,
\mathscr{L}\{e^{-a t}g(t)\}(s)=G(s+a).
Aqui a desloca a variável s em G.
  • Propriedade de diferenciação em s: se F(s)=\mathscr{L}\{g\}(s), então
\mathscr{L}\{t\,g(t)\}(s)=-\frac{d}{ds}F(s).
Essa relação vem de derivar sob o sinal de integral a definição de F(s).
Vou usar essas propriedades para identificar f(t).

Passo 3

Usando transformadas básicas e o teorema do desvio: sabemos que
\mathscr{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}}.
Aplicando o desvio com a=1 (ou seja, substituindo s por s+1), a propriedade diz que
\mathscr{L}\{e^{-1\cdot t}\,t\}(s)=\frac{1}{(s+1)^{2}}.
Em palavras: a função t e^{-t} tem transformada \dfrac{1}{(s+1)^{2}}.

Passo 4

Agora use a linearidade: se \mathscr{L}\{t e^{-t}\}(s)=\dfrac{1}{(s+1)^{2}}, então multiplicando por 6 no domínio de s corresponde a multiplicar por 6 no tempo. Ou seja,
\mathscr{L}\{6\,t e^{-t}\}(s)=\frac{6}{(s+1)^{2}}.
Portanto a função procurada é
f(t)=6\,t e^{-t}.

Passo 5

(Método alternativo — usando diferenciação em s, para fixar a intuição)
Considere g(t)=e^{-t}. Sua transformada é
\mathscr{L}\{e^{-t}\}(s)=\frac{1}{s+1}.
Pela propriedade \mathscr{L}\{t g(t)\}(s)=-\dfrac{d}{ds} \mathscr{L}\{g\}(s), obtemos
\mathscr{L}\{t e^{-t}\}(s)=-\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s+1}\right)=\frac{1}{(s+1)^{2}}.
Multiplicando por 6 no tempo dá novamente f(t)=6\,t e^{-t}. Assim os dois métodos concordam.

Passo 6

(Verificação direta por integração, para ter certeza)
Calcule a transformada de \,6t e^{-t}:
\mathscr{L}\{6t e^{-t}\}(s)=6\int_{0}^{\infty} t e^{-(s+1)t}\,dt.
Usamos a integral conhecida (ou o fato de \mathscr{L}\{t\}(a)=1/a^{2} para a>0):
\int_{0}^{\infty} t e^{-a t}\,dt=\frac{1}{a^{2}}\quad(\text{para } \Re(a)>0).
Aqui a=s+1, logo
\mathscr{L}\{6t e^{-t}\}(s)=6\cdot\frac{1}{(s+1)^{2}}=\frac{6}{(s+1)^{2}},
o que confirma a resposta.

Resposta

f(t)=6\,t e^{-t}