Usando derivação, integração, desvio
ou a convolução (e mostrand os detalhes do que fizer), encontre
se
for igual a:
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Laplace de uma função
e pede para encontrar
. Dados e pedido:
Pergunta: encontrar
(a função no tempo cuja transformada é a expressão acima). Não há outros dados.
Passo 2
Relembrando definições e propriedades úteis (explicando cada símbolo):
- Definição da transformada de Laplace: para uma função
(com ),
onde
é a variável complexa da transformada e a integral converge para valores de
adequados.
- Linearidade: se
é constante e função, então
- Transformada básica de potências: para inteiro
,
isto é, por exemplo,
- Teorema do desvio (shift in
): se então, para real,
Aqui
desloca a variável
em
.
- Propriedade de diferenciação em
: se , então
Essa relação vem de derivar sob o sinal de integral a definição de
.
Vou usar essas propriedades para identificar
.
Passo 3
Usando transformadas básicas e o teorema do desvio: sabemos que
Aplicando o desvio com
(ou seja, substituindo
por
), a propriedade diz que
Em palavras: a função
tem transformada
.
Passo 4
Agora use a linearidade: se
, então multiplicando por
no domínio de
corresponde a multiplicar por
no tempo. Ou seja,
Portanto a função procurada é
Passo 5
(Método alternativo — usando diferenciação em
, para fixar a intuição)
Considere . Sua transformada é
Considere
Pela propriedade
, obtemos
Multiplicando por
no tempo dá novamente
. Assim os dois métodos concordam.
Passo 6
(Verificação direta por integração, para ter certeza)
Calcule a transformada de :
Calcule a transformada de
Usamos a integral conhecida (ou o fato de
para
):
Aqui
, logo
o que confirma a resposta.