Usando a derivada de logaritmo, calcule y' : y = x^(e^x)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de usando a derivada de logaritmo. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial e mais especificamente com derivação de funções que envolvem potências com expoentes variáveis. Para resolver, vamos usar a técnica conhecida como diferenciação logarítmica, que facilita o cálculo quando temos variáveis no expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para simplificar a expressão:

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para a frente, temos:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então usaremos a regra da cadeia no lado esquerdo:
Aqui, diferenciamos o lado direito usando a regra do produto, onde a derivada de é e a derivada de é .

Passo 5

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados da equação por :

Passo 6

Finalmente, lembrando que , substituímos de volta na equação:

Resposta

A derivada de é:

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