Usando diferenciais, determine o valor aproximado de:
\sqrt{3.99^{2}+4.01^{2}}

Passo 1

O enunciado pede aproximar o valor de \sqrt{3,99^{2}+4,01^{2}} usando diferenciais.
Informações fornecidas:
  • Os números envolvidos são x=3,99 e y=4,01.
  • Quer-se uma aproximação (não a conta exata com raiz) usando o método dos diferenciais.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática e sem pular etapas).
Quando uma função de duas variáveis f(x,y) é suave, uma pequena variação \mathrm{d}x em x e \mathrm{d}y em y provoca uma variação aproximada em f dada pela diferencial total
\mathrm{d}f = f_{x}(x,y)\,\mathrm{d}x + f_{y}(x,y)\,\mathrm{d}y.
Aqui:
  • f_{x}(x,y) e f_{y}(x,y) são as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente; elas medem a sensibilidade de f a pequenas mudanças em cada variável.
  • \mathrm{d}x e \mathrm{d}y são as pequenas variações em x e y.
    A aproximação linear (ou aproximação por diferenciais) é
f(x+\mathrm{d}x,y+\mathrm{d}y)\approx f(x,y)+\mathrm{d}f.
Isso serve bem quando \mathrm{d}x e \mathrm{d}y são pequenos — como neste caso, onde 3,99 e 4,01 estão perto de 4.

Passo 3

Escolha da função e cálculo das derivadas parciais.
Definimos
f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
As derivadas parciais calculam-se com regra da cadeia. Para f temos
f_{x}(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
e
f_{y}(x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Explanação rápida: a raiz \sqrt{\cdot} é a função g(u)=u^{1/2}. Diferenciando g(u) \tfrac{1}{2}u^{-1/2}. Como u=x^{2}+y^{2}, aplica-se a regra da cadeia e a derivada de x^{2} em relação a x é 2x, cancelando o \tfrac{1}{2} e sobrando x/\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Escolha do ponto base e variações.
Como 3,99 e 4,01 estão perto de 4, é natural expandir em torno do ponto (x,y)=(4,4). Assim:
\mathrm{d}x=3,99-4=-0,01, \qquad \mathrm{d}y=4,01-4=0,01.

Passo 5

Avaliação das derivadas parciais no ponto (4,4).
Primeiro calcule f(4,4):
f(4,4)=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.
Agora as derivadas parciais em (4,4):
f_{x}(4,4)=\frac{4}{\sqrt{32}}=\frac{4}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}},
f_{y}(4,4)=\frac{4}{\sqrt{32}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Comentário: é comum que em pontos simétricos as duas parciais sejam iguais.

Passo 6

Aplicação da diferencial para aproximar f(3,99,4,01).
A diferencial é
\mathrm{d}f = f_{x}(4,4)\,\mathrm{d}x + f_{y}(4,4)\,\mathrm{d}y.
Substituindo os valores:
\mathrm{d}f = \frac{1}{\sqrt{2}}(-0,01) + \frac{1}{\sqrt{2}}(0,01)=\frac{1}{\sqrt{2}}(-0,01+0,01)=0.
Portanto a aproximação linear dá
f(3,99,4,01)\approx f(4,4)+\mathrm{d}f=4\sqrt{2}+0=4\sqrt{2}.
Interpretação simples: como um valor subiu 0,01 e o outro desceu 0,01 e a função é simétrica, os efeitos se cancelam na primeira ordem.

Passo 7

Verificação rápida da precisão (curiosidade para confiança).
Calculando exatamente os quadrados (só para ver o erro real):
3,99^{2}=15,9201,\qquad 4,01^{2}=16,0801,
3,99^{2}+4,01^{2}=32,0002,
\sqrt{32,0002}\approx 4\sqrt{2}\,(1+3{,}125\times10^{-6})\approx 4\sqrt{2}+1{,}8\times10^{-5}.
Ou seja, o valor real difere da aproximação linear por cerca de 1{,}8\times10^{-5}, um erro muito pequeno — a aproximação 4\sqrt{2} é excelente.

Resposta

4\sqrt{2}\approx5,656854249

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