Usando diferenciais, determine o valor aproximado de:
Passo 1
O enunciado pede aproximar o valor de
usando diferenciais.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Os números envolvidos são
e . - Quer-se uma aproximação (não a conta exata com raiz) usando o método dos diferenciais.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática e sem pular etapas).
Quando uma função de duas variáveis é suave, uma pequena variação
em
e
em
provoca uma variação aproximada em
dada pela diferencial total
Quando uma função de duas variáveis
Aqui:
-
e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente; elas medem a sensibilidade de a pequenas mudanças em cada variável. -
e são as pequenas variações em e .
A aproximação linear (ou aproximação por diferenciais) é
Isso serve bem quando
e
são pequenos — como neste caso, onde
e
estão perto de
.
Passo 3
Escolha da função e cálculo das derivadas parciais.
Definimos
Definimos
As derivadas parciais calculam-se com regra da cadeia. Para
temos
e
Explanação rápida: a raiz
é a função
. Diferenciando
dá
. Como
, aplica-se a regra da cadeia e a derivada de
em relação a
é
, cancelando o
e sobrando
.
Passo 4
Escolha do ponto base e variações.
Como e
estão perto de
, é natural expandir em torno do ponto
. Assim:
Como
Passo 5
Avaliação das derivadas parciais no ponto
.
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Agora as derivadas parciais em
:
Comentário: é comum que em pontos simétricos as duas parciais sejam iguais.
Passo 6
Aplicação da diferencial para aproximar
.
A diferencial é
A diferencial é
Substituindo os valores:
Portanto a aproximação linear dá
Interpretação simples: como um valor subiu
e o outro desceu
e a função é simétrica, os efeitos se cancelam na primeira ordem.
Passo 7
Verificação rápida da precisão (curiosidade para confiança).
Calculando exatamente os quadrados (só para ver o erro real):
Calculando exatamente os quadrados (só para ver o erro real):
Ou seja, o valor real difere da aproximação linear por cerca de
, um erro muito pequeno — a aproximação
é excelente.