Usando o elemento de volume para um sistema de coordenadas esféricas, determine o volume definido por (1 \leq r \leq 2) \mathrm{m}, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} e 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto descrito pelas restrições:
1 \leq r \leq 2,\quad 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2},\quad 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2}.
As informações relevantes são: os limites de r (distância radial) estão entre 1 e 2 metros; os limites angulares são quadrantes: \theta varia de 0 a \pi/2 e \varphi varia de 0 a \pi/2. A pergunta é: qual é o volume (em \text{m}^3) desta região usando o elemento de volume em coordenadas esféricas?

Passo 2

Explicação didática das coordenadas esféricas e do elemento de volume. Em coordenadas esféricas usamos três variáveis:
r,\\ \theta,\\ \varphi,
onde:
  • r é a distância do ponto à origem (radial), r\ge 0.
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo x (normalmente 0\le\theta<2\pi).
  • \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z positivo (normalmente 0\le\varphi\le\pi).
O elemento de volume em coordenadas esféricas é
dV = r^{2}\sin\varphi\, dr\, d\varphi\, d\theta.
Por que aparece esse fator r^{2}\sin\varphi? Intuição geométrica: um pequeno incremento dr dá um comprimento radial dr; um pequeno incremento d\varphi gera um arco de comprimento aproximado r\, d\varphi; um pequeno incremento d\theta gera um arco circular de comprimento aproximado r\sin\varphi\, d\theta. O volume pequeno é aproximadamente o produto desses comprimentos:
dV \approx (dr)\cdot (r\, d\varphi)\cdot (r\sin\varphi\, d\theta)=r^{2}\sin\varphi\, dr\, d\varphi\, d\theta.
Isso é suficiente para usar o elemento de volume corretamente na integral.

Passo 3

Montagem da integral tripla para o volume. O volume da região é
V = \iiint_{\text{região}} dV = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{\varphi=0}^{\pi/2}\int_{r=1}^{2} r^{2}\sin\varphi\, dr\, d\varphi\, d\theta.ã
Aqui usei exatamente os limites dados no enunciado: r de 1 a 2, \varphi de 0 a \pi/2 e \theta de 0 a \pi/2.

Passo 4

Integração em r (primeira integral interna). A integral de r^{2} em r é
\int_{1}^{2} r^{2}\, dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{1}^{2} = \frac{2^{3}-1^{3}}{3} = \frac{8-1}{3} = \frac{7}{3}.
Portanto, após integrar em r, o volume fica
V = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2} \frac{7}{3}\sin\varphi\, d\varphi\, d\theta.

Passo 5

Integração em \varphi. A integral de \sin\varphi é -\cos\varphi, então
\int_{0}^{\pi/2} \sin\varphi\, d\varphi = \left[-\cos\varphi\right]_{0}^{\pi/2} = \bigl(-\cos(\tfrac{\pi}{2})\bigr)-\bigl(-\cos 0\bigr) = \bigl(-0\bigr)-\bigl(-1\bigr)=1.
Multiplicando pelo fator \tfrac{7}{3} que saiu da integração em r, obtemos que a integral dupla reduz-se a
V = \int_{0}^{\pi/2} \frac{7}{3}\cdot 1 \, d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \frac{7}{3}\, d\theta.

Passo 6

Integração em \theta. A integral de uma constante é a constante vezes o comprimento do intervalo, então
\int_{0}^{\pi/2} \frac{7}{3}\, d\theta = \frac{7}{3}\left[\theta\right]_{0}^{\pi/2} = \frac{7}{3}\cdot\frac{\pi}{2}.
Escrevendo o produto (ainda sem simplificar a fração final):
V = \frac{7}{3}\cdot 1 \cdot \frac{\pi}{2}.

Resposta

V=\dfrac{7\pi}{6}\\ \text{m}^{3}