Usando o elemento de volume para um sistema de coordenadas esféricas, determine o volume definido por
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do conjunto descrito pelas restrições:
As informações relevantes são: os limites de
(distância radial) estão entre
e
metros; os limites angulares são quadrantes:
varia de
a
e
varia de
a
. A pergunta é: qual é o volume (em
) desta região usando o elemento de volume em coordenadas esféricas?
Passo 2
Explicação didática das coordenadas esféricas e do elemento de volume. Em coordenadas esféricas usamos três variáveis:
onde:
-
é a distância do ponto à origem (radial), . -
é o ângulo azimutal no plano , medido a partir do eixo (normalmente ). -
é o ângulo polar medido a partir do eixo positivo (normalmente ).
O elemento de volume em coordenadas esféricas é
Por que aparece esse fator
? Intuição geométrica: um pequeno incremento
dá um comprimento radial
; um pequeno incremento
gera um arco de comprimento aproximado
; um pequeno incremento
gera um arco circular de comprimento aproximado
. O volume pequeno é aproximadamente o produto desses comprimentos:
Isso é suficiente para usar o elemento de volume corretamente na integral.
Passo 3
Montagem da integral tripla para o volume. O volume da região é
Aqui usei exatamente os limites dados no enunciado:
de
a
,
de
a
e
de
a
.
Passo 4
Integração em
(primeira integral interna). A integral de
em
é
Portanto, após integrar em
, o volume fica
Passo 5
Integração em
. A integral de
é
, então
Multiplicando pelo fator
que saiu da integração em
, obtemos que a integral dupla reduz-se a
Passo 6
Integração em
. A integral de uma constante é a constante vezes o comprimento do intervalo, então
Escrevendo o produto (ainda sem simplificar a fração final):