Usando as equações de Lorentz compare as velocidades que dois observadores inerciais medem para uma partícula em movimento e prove o segundo postulado da relatividade restrita.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas observadoras em movimento relativo uma à outra (observadores inerciais) e uma partícula que também está em movimento. O objetivo é usar as equações de Lorentz para comparar as velocidades que cada observadora mede para essa partícula e, com isso, provar o segundo postulado da relatividade restrita. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações de Lorentz, como elas transformam as coordenadas e velocidades entre diferentes referenciais, e o que diz o segundo postulado da relatividade restrita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as equações de Lorentz. Elas são usadas para transformar as coordenadas de um evento no espaço-tempo de um referencial para outro que está se movendo com uma velocidade constante relativo ao primeiro. As equações são:
x' = gamma (x - vt)
t' = gamma (t - vxc^2)
onde:
,
é a velocidade relativa entre os referenciais,
é a velocidade da luz.

Passo 3

Agora, vamos considerar uma partícula que se move com uma velocidade u = dxdt no referencial u' = dx'dt' . Queremos encontrar a velocidade u' = ddt' [gamma (x - vt)] = gamma (dxdt - v) dtdt' dessa partícula no referencial dtdt' = 1gamma (1 - v uc^2) , que está se movendo a uma velocidade u' = gamma (u - v)gamma (1 - v uc^2) = u - v1 - v uc^2 em relação a . A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, então:
Vamos derivar as equações de Lorentz para encontrar :
Como , temos:
Substituindo de volta:

Passo 4

Essa é a fórmula da adição de velocidades na relatividade restrita. Agora, se considerarmos que a partícula é um feixe de luz, então u' = c - v1 - v cc^2 = c - v1 - vc = c . Substituindo na fórmula:
Isso mostra que, mesmo que o referencial esteja se movendo a uma velocidade em relação a , a velocidade da luz permanece a mesma em ambos os referenciais.

Resposta

Usando as equações de Lorentz, mostramos que a velocidade da luz é a mesma para ambos os observadores inerciais, independentemente da velocidade relativa entre eles. Dessa forma, provamos o segundo postulado da relatividade restrita, que afirma a invariância da velocidade da luz no vácuo para todos os referenciais inerciais.

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