Usando as equações de Lorentz compare as velocidades que dois observadores inerciais medem para uma partícula em movimento e prove o segundo postulado da relatividade restrita.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas observadoras em movimento relativo uma à outra (observadores inerciais) e uma partícula que também está em movimento. O objetivo é usar as equações de Lorentz para comparar as velocidades que cada observadora mede para essa partícula e, com isso, provar o segundo postulado da relatividade restrita. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações de Lorentz, como elas transformam as coordenadas e velocidades entre diferentes referenciais, e o que diz o segundo postulado da relatividade restrita.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as equações de Lorentz. Elas são usadas para transformar as coordenadas de um evento no espaço-tempo de um referencial para outro que está se movendo com uma velocidade constante relativo ao primeiro. As equações são:
onde:
,
é a velocidade relativa entre os referenciais,
é a velocidade da luz.
Passo 3
Agora, vamos considerar uma partícula que se move com uma velocidade
no referencial
. Queremos encontrar a velocidade
dessa partícula no referencial
, que está se movendo a uma velocidade
em relação a
. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, então:
Vamos derivar as equações de Lorentz para encontrar
:
Como
, temos:
Substituindo de volta:
Passo 4
Essa é a fórmula da adição de velocidades na relatividade restrita. Agora, se considerarmos que a partícula é um feixe de luz, então
. Substituindo na fórmula:
Isso mostra que, mesmo que o referencial
esteja se movendo a uma velocidade
em relação a
, a velocidade da luz
permanece a mesma em ambos os referenciais.
Resposta
Usando as equações de Lorentz, mostramos que a velocidade da luz
é a mesma para ambos os observadores inerciais, independentemente da velocidade relativa entre eles. Dessa forma, provamos o segundo postulado da relatividade restrita, que afirma a invariância da velocidade da luz no vácuo para todos os referenciais inerciais.