Usando integração, encontre soluções para as seguintes equações diferenciais:
(a) d y/d x = x (x^2 + 3)^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . O conteúdo que vamos usar aqui é integração, que é uma ferramenta matemática para encontrar funções a partir de suas taxas de variação. Para resolver, vamos precisar integrar o lado direito da equação em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a integração:
Agora, para encontrar , precisamos integrar ambos os lados:

Passo 3

Vamos usar a substituição para resolver essa integral. A substituição é uma técnica que simplifica a integral substituindo partes dela por uma nova variável. Vamos escolher:
Então, derivando em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos e na integral:

Passo 5

Integrando em relação a :
onde é a constante de integração, que aparece sempre que fazemos uma antiderivada.

Passo 6

Agora, voltamos à variável original substituindo :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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