Usando integrais de superfícies, calcule a área da superfície do paraboloide
limitado por
4 .
Passo 1
Então, a gente vai calcular a área de uma superfície do tipo paraboloide, dada pela equação
. Essa área está limitada até
. Vamos usar integrais de superfície para resolver isso. Basicamente, precisamos entender como parametrizar a superfície e aplicar a fórmula de área para integrais de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a superfície. O paraboloide
é uma parábola em todas as direções. Como estamos limitando por
, isso significa que estamos considerando apenas a parte da superfície onde
, ou seja, dentro de um círculo de raio 2 no plano
.
Passo 3
Para calcular a área usando integrais de superfície, a gente pode mudar para coordenadas polares, já que a superfície tem simetria circular. Em coordenadas polares,
e
, e
. A fórmula para a área
da superfície é:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula da área:
Em coordenadas polares,
e
. Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazendo uma substituição
, então
ou
. Quando
,
e quando
,
. A integral vira:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, voltamos à integral em
:
Resposta
A área da superfície do paraboloide limitado por
é: