Usando o método de Newton, resolva as equações a seguir com
Int.
R: 1.523593
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
- Pede: resolver a equação
no intervalo usando o método de Newton, com tolerância . - Dado: a função
o intervalo de busca e a tolerância .
Resumo do objetivo prático: encontrar um
tal que
com precisão de pelo menos
(i.e. diferença entre iterações menor que
).
Passo 2
O método de Newton — ideia, fórmula e critério de parada.
- Ideia (intuitiva): aproximar a curva
por sua reta tangente em um ponto e tomar a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação . Repetir até convergir. - Fórmula do método de Newton:
Aqui é a derivada de em . Cada símbolo significa: -
: aproximação atual; -
: próxima aproximação calculada; -
: valor da função na aproximação atual; -
: derivada da função na aproximação atual.
-
- Critério de parada usado aqui (comum em provas): parar quando
com . Também se pode verificar pequeno, mas usaremos a diferença entre iterados como pedido. - Para a função dada, calcule a derivada:
Explicação rápida: derivada de é , derivada de é , e de é .
Passo 3
Escolha do palpite inicial
e justificativa.
- Como o intervalo fornecido é
, uma escolha natural e simples para começar é o ponto médio (isso normalmente dá boa convergência quando a função é bem comportada no intervalo). - Vamos aplicar a fórmula de Newton a partir de
.
Passo 4
Primeira iteração: calcular
,
e
.
- Calcular
: Usando valor aproximado , temos - Calcular
: Usando , obtemos - Aplicar a fórmula de Newton:
- Verificação da diferença:
logo ainda não atingimos a tolerância e precisamos iterar mais.
Observação didática curta: aqui fizemos a divisão direta. Em prova, é suficiente calcular com algumas casas decimais e guardar consistência; o importante é documentar
,
e a atualização.
Passo 5
Segunda iteração: calcular
,
e
; mostrar que já convergiu.
- Para calcular
sem depender exclusivamente de uma calculadora, dá para usar uma expansão curta: Usando aproximações de pequeno ângulo e , e os valores anteriores , , obtemos aproximadamente - Então
ou seja (muito próximo de zero). - Agora
. Estimando , temos - Atualização:
Assim - Conclusão desta etapa: a diferença entre iterações já é menor que
, portanto o método convergiu dentro da tolerância exigida.
Comentário de reforço: a rapidez aqui é típica do método de Newton quando a derivada não é nula na raiz e a aproximação inicial é razoável — a convergência foi quadrática, por isso bastaram duas iterações para alcançar a precisão pedida.
Passo 6
Resumo do procedimento e dica para a prova.
- Passos que você deve escrever em prova:
- Apresente
e calcule . - Escolha
(aqui está dentro de ). - Faça a iteração de Newton explícita: mostre
, e calcule . - Repita até
.
- Apresente
- Dica prática: guarde 6 a 8 casas decimais nas contas intermediárias; na resposta final reporte com as casas pedidas pela tolerância ou conforme instrução do enunciado.
Resposta
1,523593