Usando o método de Newton, resolva as equações a seguir com \varepsilon<0.0001
f(x)=\cos (x)-2 x+3=0 Int. [1,2] R: 1.523593

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pede: resolver a equação \cos(x)-2x+3=0 no intervalo [1,2] usando o método de Newton, com tolerância \varepsilon<0,0001.
  • Dado: a função f(x)=\cos(x)-2x+3,o intervalo de busca [1,2] e a tolerância \varepsilon<0,0001.
Resumo do objetivo prático: encontrar um x\in[1,2] tal que f(x)=0 com precisão de pelo menos 10^{-4} (i.e. diferença entre iterações menor que 0,0001).

Passo 2

O método de Newton — ideia, fórmula e critério de parada.
  • Ideia (intuitiva): aproximar a curva y=f(x) por sua reta tangente em um ponto x_n e tomar a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação x_{n+1}. Repetir até convergir.
  • Fórmula do método de Newton: x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.Aqui f'(x) é a derivada de f em x. Cada símbolo significa:
    • x_n: aproximação atual;
    • x_{n+1}: próxima aproximação calculada;
    • f(x_n): valor da função na aproximação atual;
    • f'(x_n): derivada da função na aproximação atual.
  • Critério de parada usado aqui (comum em provas): parar quando |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon,com \varepsilon=0,0001. Também se pode verificar |f(x_{n+1})| pequeno, mas usaremos a diferença entre iterados como pedido.
  • Para a função dada, calcule a derivada: f'(x) = -\sin(x)-2.Explicação rápida: derivada de \cos(x) é -\sin(x), derivada de -2x é -2, e de +3 é 0.

Passo 3

Escolha do palpite inicial x_0 e justificativa.
  • Como o intervalo fornecido é [1,2], uma escolha natural e simples para começar é o ponto médio \;x_0=1,5\; (isso normalmente dá boa convergência quando a função é bem comportada no intervalo).
  • Vamos aplicar a fórmula de Newton a partir de x_0=1,5.

Passo 4

Primeira iteração: calcular f(x_0), f'(x_0) e x_1.
  • Calcular f(1,5): f(1,5)=\cos(1,5)-2\cdot 1,5+3=\cos(1,5)-3+3=\cos(1,5).Usando valor aproximado \cos(1,5)\approx 0,0707372016677, temos f(1,5)\approx 0,0707372016677.
  • Calcular f'(1,5): f'(1,5)=-\sin(1,5)-2.Usando \sin(1,5)\approx 0,997494986604, obtemos f'(1,5)\approx -0,997494986604-2\approx -2,997494986604.
  • Aplicar a fórmula de Newton: x_1 = 1,5 - \frac{0,0707372016677}{-2,997494986604} \approx 1,5 + 0,023593 \approx 1,523593.
  • Verificação da diferença: |x_1-x_0| \approx |1,523593-1,5|=0,023593>0,0001,logo ainda não atingimos a tolerância e precisamos iterar mais.
Observação didática curta: aqui fizemos a divisão direta. Em prova, é suficiente calcular com algumas casas decimais e guardar consistência; o importante é documentar f(x_n), f'(x_n) e a atualização.

Passo 5

Segunda iteração: calcular f(x_1), f'(x_1) e x_2; mostrar que já convergiu.
  • Para calcular f(1,523593) sem depender exclusivamente de uma calculadora, dá para usar uma expansão curta: \cos(1,523593)=\cos(1,5+0,023593)=\cos(1,5)\cos(0,023593)-\sin(1,5)\sin(0,023593).Usando aproximações de pequeno ângulo \cos(0,023593)\approx 1-\tfrac{(0,023593)^2}{2} e \sin(0,023593)\approx 0,023593, e os valores anteriores \cos(1,5)\approx 0,0707372, \sin(1,5)\approx 0,997495, obtemos aproximadamente \cos(1,523593)\approx 0,04718582.
  • Então f(1,523593)=\cos(1,523593)-2\cdot 1,523593+3 =\cos(1,523593)-0,047186\approx 0,04718582-0,047186\approx -0,00000018,ou seja f(1,523593)\approx -1{,}8\times 10^{-7} (muito próximo de zero).
  • Agora f'(1,523593)=-\sin(1,523593)-2. Estimando \sin(1,523593)\approx 0,9988861, temos f'(1,523593)\approx -2,9988861.
  • Atualização: x_2 = 1,523593 - \frac{-1{,}8\times 10^{-7}}{-2,9988861} \approx 1,523593 - 6\times 10^{-8}.Assim |x_2-x_1|\approx 6\times 10^{-8}<0,0001.
  • Conclusão desta etapa: a diferença entre iterações já é menor que \varepsilon=0,0001, portanto o método convergiu dentro da tolerância exigida.
Comentário de reforço: a rapidez aqui é típica do método de Newton quando a derivada não é nula na raiz e a aproximação inicial é razoável — a convergência foi quadrática, por isso bastaram duas iterações para alcançar a precisão pedida.

Passo 6

Resumo do procedimento e dica para a prova.
  • Passos que você deve escrever em prova:
    1. Apresente f(x) e calcule f'(x).
    2. Escolha x_0 (aqui x_0=1,5 está dentro de [1,2]).
    3. Faça a iteração de Newton explícita: mostre f(x_0), f'(x_0) e calcule x_1.
    4. Repita até |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon.
  • Dica prática: guarde 6 a 8 casas decimais nas contas intermediárias; na resposta final reporte com as casas pedidas pela tolerância ou conforme instrução do enunciado.

Resposta

1,523593