Usando as propriedades de limite, calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to3} \frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}
Isso envolve limites e forma indeterminada do tipo 0/0. Vamos usar propriedades de limite e a técnica de racionalização.

Passo 2

Ao substituir x=3 diretamente, o numerador e o denominador ficam nulos, gerando a indeterminação
\frac{3-3}{\sqrt{3}-\sqrt{3}} = \frac{0}{0}.
Para remover essa indeterminação, racionalizamos o denominador.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{x}+\sqrt{3}:
\frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}\;\cdot\;\frac{\sqrt{x}+\sqrt{3}}{\sqrt{x}+\sqrt{3}} =\frac{(x-3)(\sqrt{x}+\sqrt{3})}{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{3})^2} =\frac{(x-3)(\sqrt{x}+\sqrt{3})}{x-3}.

Passo 4

Como x\neq3 no processo de limite, podemos cancelar o fator x-3, ficando \sqrt{x}+\sqrt{3}. Agora aplicamos o limite:
\lim_{x\to3}(\sqrt{x}+\sqrt{3}) =\sqrt{3}+\sqrt{3} =2\sqrt{3}.

Resposta

2\sqrt{3}

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