Usando qualquer teste visto em sala de aula, determine se as séries abaixo são convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{3}-n^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{3}-n^{2}}}
usando qualquer teste visto em sala.
Aqui o conteúdo principal é o teste de comparação ou teste de comparação em limite com séries do tipo p.

Passo 2

Primeiro note que o termo geral
a_n = \frac{1}{\sqrt{n^{3}-n^{2}}}
só faz sentido para n\ge2, pois em n=1 o denominador é zero. Portanto a partir de n=2 temos
a_n = \frac{1}{\sqrt{n^2(n-1)}} = \frac{1}{n\,\sqrt{n-1}}.

Passo 3

Para grandes n, \sqrt{n-1} comporta-se como \sqrt{n}. Logo
a_n \sim \frac{1}{n\,\sqrt{n}} = \frac{1}{n^{3/2}}.
Sabemos que a série
\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{3/2}}
é convergente, pois é uma p-série com p=\tfrac32>1.

Passo 4

Aplicamos o teste de comparação em limite usando
b_n = \frac{1}{n^{3/2}}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n\sqrt{n-1})}{1/n^{3/2}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3/2}}{n\sqrt{n-1}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n-1}} =1.
Como o limite é finito e não nulo, a_n e b_n têm o mesmo comportamento assintótico.

Passo 5

Já que \sum b_n converge e \lim(a_n/b_n)=1, concluímos por comparação em limite que
\sum_{n=2}^\infty a_n
também é convergente.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^3-n^2}} (a partir de n=2) é convergente.

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