Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule \frac{d z}{d t} e \frac{d w}{d t} :
(j) \underset{\sim}{\psi}=\frac{x^{2}+y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}+z^{2}}, x=\cos (t), y=\operatorname{sen}(t), z=e^{t}

Passo 1

Temos a função
\psi(x,y,z)=\frac{x^{2}+y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}+z^{2}}
com as parametrizações
x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad z=e^{t}.
Queremos usar a regra da cadeia para obter \displaystyle \frac{d\psi}{dt}.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de \psi. Escrevendo
N=x^{2}+y^{2}, \quad D=1+x^{2}+y^{2}+z^{2},
temos \psi=N/D. Então
\frac{\partial \psi}{\partial x} =\frac{2x\,D - N\,2x}{D^{2}} =2x\,\frac{D-N}{D^{2}} =2x\,\frac{1+z^{2}}{D^{2}},
\frac{\partial \psi}{\partial y} =2y\,\frac{1+z^{2}}{D^{2}},
\frac{\partial \psi}{\partial z} =-\,\frac{N\,2z}{D^{2}} =-2z\,\frac{x^{2}+y^{2}}{D^{2}}.

Passo 3

Derivadas de x,y,z em relação a t:
\frac{dx}{dt}=-\sin t,\quad \frac{dy}{dt}=\cos t,\quad \frac{dz}{dt}=e^{t}.

Passo 4

Pela regra da cadeia para \psi(x(t),y(t),z(t)):
\frac{d\psi}{dt} =\frac{\partial\psi}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} +\frac{\partial\psi}{\partial y}\,\frac{dy}{dt} +\frac{\partial\psi}{\partial z}\,\frac{dz}{dt}.

Passo 5

Substituindo as derivadas parciais e x,y,z:
D=1+\cos^{2}t+\sin^{2}t+e^{2t}=2+e^{2t},
\frac{d\psi}{dt} =2x\frac{1+z^{2}}{D^{2}}(-\sin t) +2y\frac{1+z^{2}}{D^{2}}(\cos t) -2z\frac{x^{2}+y^{2}}{D^{2}}\,e^{t}.
Como x=\cos t e y=\sin t, o termo -x\sin t + y\cos t zera. Logo sobra
\frac{d\psi}{dt} =-2\,\frac{z\,e^{t}(x^{2}+y^{2})}{D^{2}} =-2\,\frac{e^{t}\,e^{t}\,(\cos^{2}t+\sin^{2}t)}{(2+e^{2t})^{2}} =-2\,\frac{e^{2t}}{(2+e^{2t})^{2}}.

Resposta

\frac{dz}{dt}=e^{t}, \qquad \frac{d\psi}{dt} =-2\,\frac{e^{2t}}{\bigl(2+e^{2t}\bigr)^{2}}.

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