Usando a regra da cadeia, diferencie:
f(x) = x^2 / raiz3(x^3 + 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para diferenciar a função usando a regra da cadeia. Isso envolve cálculo de derivadas, especificamente aplicando a regra da cadeia para funções compostas. Vamos precisar lembrar como aplicar a regra do quociente e a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a diferenciação. A função dada é:
Podemos reescrever a raiz cúbica como uma potência fracionária:

Passo 3

Agora, temos um produto de duas funções: e . Para diferenciar isso, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a derivada da primeira vezes a segunda, mais a primeira vezes a derivada da segunda.

Passo 4

Aplicando a regra do produto:

Passo 5

Vamos calcular cada derivada separadamente. Primeiro, a derivada de :

Passo 6

Agora, vamos diferenciar usando a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é .
Aqui, e .
Primeiro, derivamos :
Agora, derivamos :
Multiplicando as duas derivadas:

Passo 7

Agora, substituímos as derivadas encontradas na expressão do passo 4:
Simplificando:

Passo 8

Para deixar a expressão mais simples, podemos fatorar :
Mas vamos manter a expressão já simplificada:

Resposta

A derivada da função é:

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