1. Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule: \frac{\partial z}{\partial t}, \frac{\partial z}{\partial s} e \frac{\partial w}{\partial t}, \frac{\partial w}{\partial s} e \frac{\partial w}{\partial r}.
    (a) z=x^{2}-y^{2}, x=3 t-s, y=t+2 s

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função
z = f(x,y) = x^{2} - y^{2}
e que as variáveis x e y dependem de (t,s) por
x = 3t - s, \qquad y = t + 2s.
O que queremos é aplicar a regra da cadeia para obter \frac{\partial z}{\partial t} e \frac{\partial z}{\partial s}.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e a y:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr) = 2x, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr) = -2y.

Passo 3

Agora precisamos das derivadas de x e y em relação a t:
\frac{\partial x}{\partial t} = 3, \qquad \frac{\partial y}{\partial t} = 1.
Pela regra da cadeia
\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial t} = (2x)\cdot 3 + (-2y)\cdot 1 = 6x - 2y.
Substituindo x=3t-s e y=t+2s:
\frac{\partial z}{\partial t} = 6(3t - s) \;-\; 2\,(t + 2s) = 18t - 6s - 2t - 4s = 16t - 10s.

Passo 4

De modo análogo, obtemos as derivadas de x e y em relação a s:
\frac{\partial x}{\partial s} = -1, \qquad \frac{\partial y}{\partial s} = 2.
Pela regra da cadeia
\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial s} = (2x)\cdot(-1) + (-2y)\cdot 2 = -2x - 4y.
Substituindo x=3t-s e y=t+2s:
\frac{\partial z}{\partial s} = -2(3t - s) \;-\; 4(t + 2s) = -6t + 2s - 4t - 8s = -10t - 6s.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial t} = 16t - 10s, \qquad \frac{\partial z}{\partial s} = -10t - 6s.

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