Usando as regras operacionais, determine as derivadas das funções a seguir:
y=\frac{3}{4 x}+2 x\left(\sqrt[3]{x^{2}}\right)+\frac{3}{\sqrt{x}}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
y=\frac{3}{4 x}+2 x\left(\sqrt[3]{x^{2}}\right)+\frac{3}{\sqrt{x}}.
Informações dadas:
  • A função é composta por três termos: \dfrac{3}{4x}, 2x\sqrt[3]{x^{2}} e \dfrac{3}{\sqrt{x}}.
  • Precisamos calcular y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • Observação sobre domínio: há termos com \sqrt{x} e x no denominador, então para usar as potências racionais de forma segura considere x>0.

Passo 2

Converter as raízes e frações em potências para aplicar as regras de derivação com mais facilidade.
  • \dfrac{3}{4x} = \dfrac{3}{4}\,x^{-1}.
  • \sqrt[3]{x^{2}} = x^{2/3}, então 2x\sqrt[3]{x^{2}} = 2x\cdot x^{2/3} = 2x^{1+2/3}=2x^{5/3}.
  • \dfrac{3}{\sqrt{x}} = 3x^{-1/2}.
Assim reescrevemos
y=\dfrac{3}{4}x^{-1}+2x^{5/3}+3x^{-1/2}.

Passo 3

Lembrar as regras que vamos usar (explicadas de forma clara):
  • Regra do fator constante: se c é constante e f(x) é função, então \dfrac{d}{dx}[c\cdot f(x)]=c\cdot f'(x). Ou seja, constantes saem da derivada.
  • Regra da potência (a mais importante aqui): para um número real n e x>0, \dfrac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}. Aqui n pode ser inteiro ou racional; no caso de racionais usamos x>0 para garantir as funções reais.
    Explicando com palavras: derivar uma potência baixa o expoente multiplicando e diminui o expoente em uma unidade (subtrai 1).

Passo 4

Aplicar a regra da potência termo a termo (usando a regra do fator constante quando apropriado).
Derivada do primeiro termo:
\frac{d}{dx}\left(\dfrac{3}{4}x^{-1}\right)=\dfrac{3}{4}\cdot(-1)x^{-2}=-\dfrac{3}{4}x^{-2}.
Derivada do segundo termo:
\frac{d}{dx}\left(2x^{5/3}\right)=2\cdot\frac{5}{3}x^{5/3-1}=2\cdot\frac{5}{3}x^{2/3}=\frac{10}{3}x^{2/3}.
Derivada do terceiro termo:
\frac{d}{dx}\left(3x^{-1/2}\right)=3\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)x^{-3/2}=-\tfrac{3}{2}x^{-3/2}.

Passo 5

Reunir todas as parcelas derivadas:
y'=-\dfrac{3}{4}x^{-2}+\dfrac{10}{3}x^{2/3}-\dfrac{3}{2}x^{-3/2}.
Se preferir a forma com radicais (equivalente), lembre que x^{2/3}=\sqrt[3]{x^{2}} e x^{-3/2}=\dfrac{1}{x^{3/2}}=\dfrac{1}{x\sqrt{x}}. Assim a forma radical seria
y'=-\dfrac{3}{4x^{2}}+\dfrac{10}{3}\sqrt[3]{x^{2}}-\dfrac{3}{2x^{3/2}}.

Resposta

\displaystyle y'=-\dfrac{3}{4}x^{-2}+\dfrac{10}{3}x^{2/3}-\dfrac{3}{2}x^{-3/2}