Usando as regras operacionais, determine as derivadas das funções a seguir:
y=\frac{2(2 x-1)}{\sqrt{3}}.

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\frac{2(2x-1)}{\sqrt{3}}
e pede para determinar a derivada dessa função em relação a x.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função é uma expressão racional simples, mas com constantes multiplicando um polinômio linear.
  • Não há outras condições ou pontos específicos pedidos — só a derivada geral dy/dx.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a expressão algébrica para ficar mais fácil de derivar. Identificar constantes e termos em x.
A constante \sqrt{3} no denominador pode ser tirada como fator comum. Escrever:
y=\frac{2}{\sqrt{3}}(2x-1).
Agora multiplicar o fator constante pelo polinômio interno para deixar a função na forma padrão ``constante vezes x mais constante’’:
y=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot 2x-\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot 1.
Executando as multiplicações:
y=\frac{4}{\sqrt{3}}\,x-\frac{2}{\sqrt{3}}.

Passo 3

Vamos relembrar as regras de derivação que usaremos (explicadas de forma simples):
  • Regra da linearidade (soma): a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Em símbolos, se f(x)=u(x)+v(x) então
f'(x)=u'(x)+v'(x).
  • Regra do fator constante (constante multiplicativa): se C é uma constante e g(x) uma função, então
\frac{d}{dx}\bigl(C\cdot g(x)\bigr)=C\cdot g'(x).
Isto significa que posso puxar constantes para fora da operação de derivada.
  • Derivada de uma função linear ax+b: a derivada é simplesmente o coeficiente de x, ou seja
\frac{d}{dx}(ax+b)=a,
porque a derivada de x é 1 e a derivada de uma constante é 0.
Um exemplo rápido para fixar: \dfrac{d}{dx}(3x+5)=3, pois o 3 é o coeficiente de x e a constante some.

Passo 4

Aplicar as regras à nossa função já simplificada. Temos y como soma de dois termos:
y=\underbrace{\frac{4}{\sqrt{3}}\,x}_{\text{termo linear}} \;-\; \underbrace{\frac{2}{\sqrt{3}}}_{\text{constante}}.
  • Derivada do termo linear \dfrac{4}{\sqrt{3}}\,x: pelo fato constante vezes x, a derivada é a constante \dfrac{4}{\sqrt{3}} multiplicada pela derivada de x (que vale 1).
  • Derivada da constante \dfrac{2}{\sqrt{3}} é 0.
Somando as contribuições (regra da linearidade), a derivada dy/dx será a constante que veio do coeficiente de x.

Passo 5

Resumo do cálculo (sem repetições desnecessárias): a única contribuição não nula à derivada vem do termo proporcional a x, cujo coeficiente é \dfrac{4}{\sqrt{3}}. Portanto a derivada é esse número constante.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{4}{\sqrt{3}}