2- Usando as regras de Slater, calcule a carga nuclear efetiva exercida sobre um elétron em cada um dos orbitais do átomo de potássio.

Passo 1

O que o problema pede: calcular, usando as regras de Slater, a carga nuclear efetiva exercida sobre um elétron em cada um dos orbitais do átomo de potássio.
Informações dadas e necessárias (explicitadas):
  • Número atômico do potássio: \,Z=19\,.
  • Configuração eletrônica do potássio (estado fundamental): \,1s^2\,2s^2\,2p^6\,3s^2\,3p^6\,4s^1\,.
  • Os orbitais ocupados que vamos avaliar são: \,1s,\;2s,\;2p,\;3s,\;3p,\;4s\,.
    Nenhuma outra informação será pedida ao longo da resolução: vou aplicar as regras de Slater para cada orbital e obter \,Z_{\text{eff}}=Z-S\,, onde \,S\, é a constante de blindagem obtida pelas regras.

Passo 2

Explicando as Regras de Slater (passo-a-passo e com boa didática):
  • Objetivo: estimar quanto os outros elétrons “blindam” o elétron considerado, ou seja calcular a blindagem \,S, e então \,Z_{\text{eff}}=Z-S.
  • Agrupamento: escrevemos a configuração em blocos por nível e tipo: (1s), (2s,2p), (3s,3p), (3d), (4s,4p), etc. Cada elétron pertence a um desses grupos.
  • Regras (para um elétron do tipo ns ou np):
    1. Cada outro elétron no mesmo grupo (mesmo n, isto é, mesmos ns ou np) contribui com 0{,}35 para S, exceto no caso especial do grupo 1s: o único outro elétron em 1s contribui com 0{,}30.
    2. Cada elétron no nível n-1 contribui com 0{,}85.
    3. Cada elétron nos níveis n-2 ou inferiores contribui com 1{,}00.
  • Observação: não estamos tratando de elétrons d ou f aqui (o potássio não tem elétrons 3d na configuração fundamental), então essas regras bastam.
  • Fórmula final que vamos usar para cada caso: \,Z_{\text{eff}} = Z - S\,, com \,S\, somatório dos coeficientes acima multiplicados pelo número de elétrons que contribuem.

Passo 3

Organizando os números de elétrons por camada/grupo a partir da configuração \,1s^2\,2s^2\,2p^6\,3s^2\,3p^6\,4s^1\,:
  • Grupo 1s: 2 elétrons.
  • Grupo 2s,2p: 2+6=8 elétrons.
  • Grupo 3s,3p: 2+6=8 elétrons.
  • Grupo 4s: 1 elétron.
    Lembrete: Z=19. Agora vamos calcular \,S\, e \,Z_{\text{eff}}\, para cada orbital pedido.

Passo 4

Cálculo para um elétron em \,1s\,:
  • No grupo 1s há 2 elétrons; para um elétron considerado, há 1 outro elétron no mesmo grupo que contribui com 0{,}30 (caso especial do 1s). Logo \,S = 0{,}30.
  • Então \,Z_{\text{eff}} = Z - S = 19 - 0{,}30 = 18{,}70.
    Explicação curta: elétrons mais internos pouco são blindados por outros elétrons do mesmo orbital, por isso \,Z_{\text{eff}\,} fica muito próximo de Z.

Passo 5

Cálculo para um elétron em \,2s\, (o mesmo vale para \,2p\,, pois as regras tratam ns e np igualmente):
  • Mesmo grupo ( n=2): há 8 elétrons no grupo 2s,2p. Para o elétron considerado, os outros são 8-1=7 elétrons que contribuem com 0{,}35 cada: contribuição =7\times0{,}35.
    \;7\times0{,}35=2{,}45.
  • Nível n-1 (aqui n-1=1): há 2 elétrons 1s^2 que contribuem com 0{,}85 cada: 2\times0{,}85=1{,}70.
  • Níveis n-2 ou inferiores: não existem (já estamos em n=2).
  • Soma da blindagem: \,S=2{,}45+1{,}70=4{,}15.
  • Portanto \,Z_{\text{eff}}=19-4{,}15=14{,}85.

Passo 6

Breve reforço didático (para fixar): interpretar esses números faz sentido — um elétron em \,2s/2p\, vê quase toda a carga do núcleo porque só há 2 elétrons ainda mais internos (1s) que o blindam bastante; os elétrons do mesmo nível blindam só parcialmente.

Passo 7

Cálculo para um elétron em \,3s\, (mesma conta para \,3p\,):
  • Mesmo grupo ( n=3): 3s,3p têm 8 elétrons; então para o elétron considerado há 8-1=7 elétrons que contribuem com 0{,}35 cada: 7\times0{,}35=2{,}45.
  • Nível n-1 (aqui n-1=2): grupo 2s,2p tem 8 elétrons, cada um contribui com 0{,}85: 8\times0{,}85=6{,}80.
  • Níveis n-2 ou inferiores (aqui n-2=1): 1s^2 tem 2 elétrons, cada um contribui com 1{,}00: 2\times1{,}00=2{,}00.
  • Soma da blindagem: \,S=2{,}45+6{,}80+2{,}00=11{,}25.
  • Portanto \,Z_{\text{eff}}=19-11{,}25=7{,}75.

Passo 8

Comentário pedagógico: elétrons na camada n=3 são mais blindados (S maior) do que os de n=2, portanto sentem uma carga efetiva bem menor — aqui cerca de 7{,}75.

Passo 9

Cálculo para o elétron em \,4s\, (o único elétron externo do K):
  • Mesmo grupo ( n=4): o grupo 4s,4p contém apenas 1 elétron no potássio (o próprio elétron considerado), então não há outros elétrons no mesmo grupo; contribuição do mesmo grupo =0.
  • Nível n-1 (aqui n-1=3): 3s^2\,3p^6 totalizam 8 elétrons, cada um contribui com 0{,}85: 8\times0{,}85=6{,}80.
  • Níveis n-2 ou inferiores (aqui n-2 = 2,1): total de elétrons em 1s e 2s/2p é 2 + 8 = 10; cada um contribui com 1{,}00: 10\times1{,}00=10{,}00.
  • Soma da blindagem: \,S=0+6{,}80+10{,}00=16{,}80.
  • Portanto \,Z_{\text{eff}}=19-16{,}80=2{,}20.

Passo 10

Interpretação rápida final (motivacional): o elétron 4s é o mais externamente blindado, por isso sente uma carga efetiva pequena ( \sim2{,}2), o que explica por que é facilmente removível (baixa energia de ionização relativa). Já os elétrons de 1s sentem quase todo o núcleo ( \sim18{,}7): são fortemente ligados.

Resposta

1s:\;Z_{\text{eff}}=18{,}70
2s:\;Z_{\text{eff}}=14{,}85
2p:\;Z_{\text{eff}}=14{,}85
3s:\;Z_{\text{eff}}=7{,}75
3p:\;Z_{\text{eff}}=7{,}75
4s:\;Z_{\text{eff}}=2{,}20

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