Usando substituição de variável, resolva as integrais abaixo :
(m) integral ln (x+1)x+1 d x

Passo 1

Beleza, a gente tem que resolver a integral integral ln (x+1)x+1 , dx. Vamos usar a técnica de substituição de variável, que ajuda a simplificar integrais complicadas. Para isso, precisamos escolher uma nova variável que torne a integral mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar u = ln(x+1). Agora, precisamos achar a expressão para du em termos de dx.

Passo 3

Calculando a derivada de u em relação a x, temos:
du = 1x+1 , dx
Isso é ótimo porque na nossa integral original temos 1x+1 , dx, que está exatamente na forma de du.

Passo 4

Vamos substituir u e du na integral original:
integral ln (x+1)x+1 , dx = integral u , du
Agora, a integral ficou muito mais simples!

Passo 5

Integrando u , du, obtemos:
integral u , du = u^22 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, voltamos para a variável original substituindo u = ln(x+1):
(ln(x+1))^22 + C

Resposta

A integral é igual a (ln(x+1))^22 + C.

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