Usando as técnicas da substituição (direta) ou da integração por partes, encontre a integral indefinida. Justifique sua resposta. integral sen raizxraizx d x

Passo 1

Entendendo o Problema
A gente tem que resolver a integral indefinida . Isso envolve técnicas de cálculo, especificamente substituição. Vamos precisar usar uma substituição inteligente para simplificar a integral e facilitar a resolução.

Passo 2

Escolhendo a Substituição
Vamos usar a substituição direta. Vamos deixar . Isso significa que . Agora, precisamos encontrar em termos de .

Passo 3

Calculando dxdt = 2t em Termos de dx = 2t , dt
Derivando em relação a , temos:
Então,

Passo 4

Substituindo na Integral Original
Substituindo integral sen tt cdot 2t , dt = 2 integral sen t , dt e na integral, fica:
Aqui, simplificamos .

Passo 5

Resolvendo a Integral Simples
Agora, a integral ficou mais fácil:
A antiderivada de é 2 integral sen t , dt , então:
2 (-cos t) + C = -2 cos t + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltando para a Variável Original
Lembrando que fizemos -2 cos raizx + C , substituímos de volta:

Resposta

A integral indefinida é .

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