Usando as técnicas da substituição (direta) ou da integração por partes, encontre a integral indefinida. Justifique sua resposta.
Passo 1
Entendendo o Problema
A gente tem que resolver a integral indefinida . Isso envolve técnicas de cálculo, especificamente substituição. Vamos precisar usar uma substituição inteligente para simplificar a integral e facilitar a resolução.
Passo 2
Escolhendo a Substituição
Vamos usar a substituição direta. Vamos deixar
. Isso significa que
. Agora, precisamos encontrar
em termos de
.
Passo 3
Calculando
em Termos de
Derivando
em relação a
, temos:
Então,
Passo 4
Substituindo na Integral Original
Substituindo
e
na integral, fica:
Aqui, simplificamos .
Passo 5
Resolvendo a Integral Simples
Agora, a integral ficou mais fácil:
A antiderivada de é
, então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando para a Variável Original
Lembrando que fizemos
, substituímos de volta:
Resposta
A integral indefinida é
.