Usando o teorema da Seção 21, mostre que cada uma dessas funções não é analítica em ponto algum.
f(z)=e^{y} e^{i x}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(z)=e^{y}e^{i x}
não é analítica em ponto algum, usando o Teorema da Seção 21, que diz: se f=u+iv é diferenciável num ponto então as derivadas parciais de u e v existem, são contínuas e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann.

Passo 2

Escrevemos z=x+iy e separamos parte real e imaginária de f. Temos
f(x,y)=e^{y}(\cos x + i\sin x),
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u(x,y)=e^{y}\cos x, \qquad v(x,y)=e^{y}\sin x.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^y\cos x\bigr) = -e^y\sin x, \quad u_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^y\cos x\bigr) = e^y\cos x,
v_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^y\sin x\bigr) = e^y\cos x, \quad v_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^y\sin x\bigr) = e^y\sin x.

Passo 4

As equações de Cauchy–Riemann exigem
u_x = v_y \quad\Longrightarrow\quad -\,e^y\sin x = e^y\sin x \quad\Longrightarrow\quad \sin x = 0,
e
u_y = -\,v_x \quad\Longrightarrow\quad e^y\cos x = -\,e^y\cos x \quad\Longrightarrow\quad \cos x = 0.
Não existe valor de x que satisfaça simultaneamente \sin x=0 e \cos x=0. Portanto, as equações de Cauchy–Riemann não se cumprem em nenhum ponto (x,y). Pela Seção 21, isso implica que f não é diferenciável em ponto algum, e portanto não é analítica em lugar nenhum.

Resposta

A função f(z)=e^{y}e^{i x} não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.

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