Usando o teorema da Seção 21, mostre que cada uma dessas funções não é analítica em ponto algum.
f(z)=2 x y+i\left(x^{2}-y^{2}\right);

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
f(z)=2 x y + i (x²–y²)
não é analítica em ponto algum.
Aqui o conteúdo é o critério de Cauchy–Riemann (Teorema da Seção 21): se f=u+iv é analítica num domínio aberto e u,v têm derivadas parciais contínuas ali, então elas satisfazem as equações de Cauchy–Riemann nesse domínio.

Passo 2

Identificamos
u(x,y)=2 x y
v(x,y)=x²–y²
e calculamos suas derivadas parciais:
u_x=2y,\quad u_y=2x,
v_x=2x,\quad v_y=-2y.

Passo 3

As equações de Cauchy–Riemann são
u_x = v_y \quad\text{e}\quad u_y = -\,v_x.
Substituindo as derivadas:
2y = -2y \;\Longrightarrow\;4y=0\;\Longrightarrow\;y=0,
2x = -2x \;\Longrightarrow\;4x=0\;\Longrightarrow\;x=0.
Logo, só em (x,y)=(0,0) as condições de Cauchy–Riemann se satisfazem.

Passo 4

Para f ser analítica em um ponto z₀, é preciso que exista uma vizinhança aberta de z₀ onde as equações de Cauchy–Riemann valham. Aqui elas só valem no ponto isolado (0,0), não em nenhum aberto. Portanto f não é analítica em ponto algum.

Resposta

A função f(z)=2xy+i(x²–y²) não é analítica em nenhum ponto do plano.

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