Usando o teste da integral, verifique se as séries abaixo são convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da integral na série
O conteúdo é o teste de convergência pelo integral, que diz: se
é positiva, contínua e decrescente para
e se
converge, então a série
também converge. Vamos aplicar isso com
.
Passo 2
Verificamos as hipóteses do teste:
- Para
, . - É contínua em
porque . - É decrescente pois
Assim, podemos usar o teste da integral.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Fazendo a substituição
, temos
e os limites
,
. Logo
Sabemos que
Aplicando os limites,
Passo 4
Como a integral converge (é finita), pelo teste da integral a série
converge.
converge.
Resposta
A série é convergente.