Usando o teste da integral, verifique se as séries abaixo são convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+2)^{3 / 2}}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da integral na série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+2)^{3/2}}.
O conteúdo é o teste de convergência pelo integral, que diz: se f(x) é positiva, contínua e decrescente para x\ge1 e se
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx
converge, então a série \sum_{n=1}^\infty f(n) também converge. Vamos aplicar isso com f(x)=\frac{1}{(x+2)^{3/2}}.

Passo 2

Verificamos as hipóteses do teste:
  • Para x\ge1, f(x)=\tfrac{1}{(x+2)^{3/2}}>0.
  • É contínua em [1,\infty) porque x+2>0.
  • É decrescente pois
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl((x+2)^{-3/2}\bigr) =-\tfrac{3}{2}(x+2)^{-5/2}<0.
Assim, podemos usar o teste da integral.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{(x+2)^{3/2}}\,dx.
Fazendo a substituição u=x+2, temos du=dx e os limites x=1\to u=3, x\to\infty\to u\to\infty. Logo
\int_{1}^{\infty} (x+2)^{-3/2}dx =\int_{3}^{\infty} u^{-3/2}du.
Sabemos que
\int u^{-3/2}du =\frac{u^{-1/2}}{-\tfrac12} =-2\,u^{-1/2} =-\frac{2}{\sqrt{u}}.
Aplicando os limites,
\int_{3}^{\infty} u^{-3/2}du =\lim_{R\to\infty}\Bigl[-\frac{2}{\sqrt{u}}\Bigr]_{u=3}^{u=R} =\lim_{R\to\infty}\Bigl(-\frac{2}{\sqrt{R}}+\frac{2}{\sqrt{3}}\Bigr) =\frac{2}{\sqrt{3}}<\infty.

Passo 4

Como a integral converge (é finita), pelo teste da integral a série
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+2)^{3/2}}
converge.

Resposta

A série é convergente.

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