Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(d) sumn=1^infty 1(n+1) raizln (n+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a série converge ou diverge usando o teste da integral. Esse teste faz parte do estudo de séries numéricas, onde a gente compara uma série com uma integral para ver seu comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série um pouquinho. Notamos que sumn=2^infty 1n raizln n é apenas um deslocamento, então podemos reescrever a série começando de :
Isso facilita nossa análise sem alterar a convergência da série.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o teste da integral. Para isso, consideramos a função contínua, positiva e decrescente integral2^infty 1x raizln x , dx para . Precisamos calcular a integral imprópria:

Passo 4

Para resolver essa integral, faremos uma substituição. Vamos deixar integralu=ln 2^infty 1raizu , du , então . A integral fica:
Isso simplifica bastante!

Passo 5

Agora, calculamos a integral:
integralln 2^infty u^-1/2 , du = [ 2 raizu ]ln 2^infty
Quando avaliamos isso, vemos que quando vai para infinito, também vai para infinito.

Passo 6

Como a integral diverge (vai para infinito), pelo teste da integral, a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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