Usando os testes convenientes, examine, quanto à convergência, as séries abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a série infinita com termos positivos
O que se pede: analisar a convergência (converge ou diverge) dessa série.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- O termo geral da série é
. - Para
temos , logo os termos são positivos e bem definidos.
Passo 2
Lembrete importante (teste da divergência / condição necessária de convergência). Vou explicar com calma: se a série
converge, então necessariamente o termo geral
tem de tender a zero, isto é,
Racionalização rápida: se
possui limite finito
quando
, então
tende a
. Portanto, um teste simples e inicial é verificar o limite de
: se
, a série diverge imediatamente.
Passo 3
Vamos estudar
. Para obter um limite inferior simples, uso a desigualdade clássica
Explicação curta dessa desigualdade: defina
. Então
para
, e como
segue
, ou seja
. Aplicando com
(onde
) obtemos
Passo 4
A partir de
segue uma desigualdade para o termo geral:
Ou seja, para todo
tem-se
.
Passo 5
Agora mostro que
quando
. Uma forma simples e explícita: para
vale a desigualdade
Prova por indução rápida: para
temos
. Supondo
, então
porque
. Assim a desigualdade se mantém e como
segue
. Portanto
(e, por consequência,
) tende a infinito, não a zero:
Passo 6
Conclusão pelo teste da divergência: como o termo geral
não tende a zero (tende a infinito), a série
não pode convergir. Logo a série diverge. (Observação: poderia também-se aplicar o teste da razão e obter que a razão entre termos consecutivos cresce sem limite, o que também indica divergência.)
Resposta
A série diverge (os termos gerais não tendem a zero).