Usando os testes convenientes, examine, quanto à convergência, as séries abaixo:
\sum_{1} \frac{n!}{\ln (n+1)}

Passo 1

O enunciado dá a série infinita com termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{\ln(n+1)}.
O que se pede: analisar a convergência (converge ou diverge) dessa série.
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{n!}{\ln(n+1)}.
  • Para n\ge 1 temos \ln(n+1)>0, logo os termos são positivos e bem definidos.

Passo 2

Lembrete importante (teste da divergência / condição necessária de convergência). Vou explicar com calma: se a série \sum a_n converge, então necessariamente o termo geral a_n tem de tender a zero, isto é,
\text{se }\sum a_n \text{ converge, então } \lim_{n\to\infty} a_n = 0.ã
Racionalização rápida: se S_N=\sum_{n=1}^N a_n possui limite finito S quando N\to\infty, então a_n=S_n-S_{n-1} tende a S-S=0. Portanto, um teste simples e inicial é verificar o limite de a_n: se \lim a_n \neq 0, a série diverge imediatamente.

Passo 3

Vamos estudar \displaystyle a_n=\frac{n!}{\ln(n+1)}. Para obter um limite inferior simples, uso a desigualdade clássica
\ln(1+x)\le x\quad\text{para todo }x>-1.
Explicação curta dessa desigualdade: defina f(x)=\ln(1+x)-x. Então f'(x)=\dfrac{1}{1+x}-1=-\dfrac{x}{1+x}\le0 para x>-1, e como f(0)=0 segue f(x)\le0, ou seja \ln(1+x)\le x. Aplicando com x=n (onde n\ge1) obtemos
\ln(n+1)\le n.

Passo 4

A partir de \ln(n+1)\le n segue uma desigualdade para o termo geral:
a_n=\frac{n!}{\ln(n+1)}\ge \frac{n!}{n} = (n-1)!.
Ou seja, para todo n\ge1 tem-se a_n\ge (n-1)!.

Passo 5

Agora mostro que (n-1)!\to\infty quando n\to\infty. Uma forma simples e explícita: para n\ge2 vale a desigualdade
(n-1)!\ge 2^{\,n-2}.
Prova por indução rápida: para n=2 temos (1)!=1=2^0. Supondo (n-1)!\ge2^{n-2}, então
n! = n\,(n-1)! \ge n\cdot 2^{n-2}\ge 2\cdot 2^{n-2}=2^{n-1},
porque n\ge2. Assim a desigualdade se mantém e como 2^{n-2}\to\infty segue (n-1)!\to\infty. Portanto (n-1)! (e, por consequência, a_n) tende a infinito, não a zero:
\lim_{n\to\infty} a_n = \infty \neq 0.

Passo 6

Conclusão pelo teste da divergência: como o termo geral a_n não tende a zero (tende a infinito), a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n!}{\ln(n+1)} não pode convergir. Logo a série diverge. (Observação: poderia também-se aplicar o teste da razão e obter que a razão entre termos consecutivos cresce sem limite, o que também indica divergência.)

Resposta

A série diverge (os termos gerais não tendem a zero).