Usar o princípio da inclusão e exclusão para achar o número de maneiras de se escolher 8 letras de uma coleção contendo
3 a’s, 3 b’s, e 4 c’s
3 a’s, 3 b’s, e 4 c’s
Passo 1
O enunciado pede o número de modos de escolher
letras de um multiconjunto com
's,
's e
's. Em termos de contagem, isso equivale a encontrar soluções inteiras não negativas
de
sujeitas às restrições
Vamos usar o princípio da inclusão e exclusão junto com o método “estrelas e barras”.
Passo 2
Contamos primeiro sem nenhuma restrição superior. Pelo método de estrelas e barras, o número de soluções não negativas de
é
Esse é o total sem considerar que há limite na quantidade de cada letra.
Passo 3
Definimos os conjuntos de soluções que violam cada limite:
A soluções com
,
B soluções com
,
C soluções com
.
A
B
C
Para
, fazemos
, então
tem
Pela mesma razão,
. Para
, fazemos
, então
que dá
Passo 4
Agora as intersecções de duas violações:
-
: , . Defina , ; então e há solução. -
: exigiria e , levando a soma negativa , logo . -
: idem, soma fica , logo .
Intersecção tripla
também é impossível, pois
.
Passo 5
Aplicamos o princípio da inclusão e exclusão:
Resposta
O número de maneiras de escolher
letras sob essas condições é
.