Use coeficientes a determinar para resolver a equação diferencial dada.
(g) 5 y^{\prime \prime}-y^{\prime}=-6 x, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
5\,y'' - y' = -6\,x
e as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0. O método a usar é o de coeficientes a determinar, isto é, primeiro resolvemos a equação homogênea e depois encontramos uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea associada
5\,y'' - y' = 0
usamos o polinômio característico
5\,r^2 - r = 0 \quad\Longrightarrow\quad r\,(5r - 1) = 0
logo r_1 = 0 e r_2 = \tfrac15. Assim a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 + C_2\,e^{x/5}.

Passo 3

Para a parte não homogênea -6x, como a força é um polinômio de grau 1 e r=0 é raiz simples do característico, multiplicamos a ansatz polinomial de grau 1 por x. Logo supomos
y_p(x) = M\,x^2 + N\,x.
Derivando:
y_p'(x) = 2M\,x + N, \qquad y_p''(x) = 2M.

Passo 4

Substituímos em 5\,y'' - y' = -6x:
5\,(2M) - (2M\,x + N) = 10M - 2M\,x - N \stackrel{!!}{=} -6x.
Comparando coeficientes de x e termos constantes:
-2M = -6 \quad\Longrightarrow\quad M = 3,
10M - N = 0 \quad\Longrightarrow\quad 30 - N = 0 \quad\Longrightarrow\quad N = 30.
Logo
y_p(x) = 3\,x^2 + 30\,x.

Passo 5

A solução geral da equação completa é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 + C_2\,e^{x/5} + 3\,x^2 + 30\,x.
Calculamos y'(x):
y'(x) = \frac{C_2}{5}\,e^{x/5} + 6\,x + 30.

Passo 6

Impondo as condições iniciais:
  1. y(0)=0
C_1 + C_2 + 0 + 0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = -C_2.
  1. y'(0)=0
\frac{C_2}{5} + 0 + 30 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = -150,
e então C_1 = 150.

Resposta

\boxed{y(x) = 150 - 150\,e^{x/5} + 3\,x^2 + 30\,x.}

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