Use coeficientes a determinar para resolver a equação diferencial dada.
(g)
(g)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
e as condições iniciais
e
. O método a usar é o de coeficientes a determinar, isto é, primeiro resolvemos a equação homogênea e depois encontramos uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Resolvendo a equação homogênea associada
usamos o polinômio característico
logo
e
. Assim a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para a parte não homogênea
, como a força é um polinômio de grau 1 e
é raiz simples do característico, multiplicamos a ansatz polinomial de grau 1 por
. Logo supomos
Derivando:
Passo 4
Substituímos em
:
Comparando coeficientes de
e termos constantes:
Logo
Passo 5
A solução geral da equação completa é
Calculamos
:
Passo 6
Impondo as condições iniciais:
-
dá
-
dá
e então
.