Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty sin (1 / n)raizn

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que analisar se a série infinita converge ou não. Para isso, vamos usar o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite. Esses critérios ajudam a comparar a série dada com outra série cujo comportamento já conhecemos.

Passo 2

Vamos começar observando a função sin(1n) approx 1n . Quando fica bem grande, fica bem pequeno. Sabemos que, para valores pequenos de , . Então, podemos aproximar:
Isso nos ajuda a simplificar a expressão da série.

Passo 3

Substituindo a aproximação na série original, temos:
sin(1n)raizn approx 1nraizn = 1n^3/2
Agora, nossa série se parece com .

Passo 4

Sabemos que a série converge se . No nosso caso, , que é maior que 1. Portanto, a série converge.

Passo 5

Agora, vamos aplicar o Critério da Comparação pelo Limite. Calculamos o limite:
limn to infty sin(1n)raizn1n^3/2 = limn to infty n^3/2 cdot sin(1n)raizn = limn to infty n cdot sin(1n)
Como limn to infty n cdot 1n = 1 , temos:
O limite é finito e diferente de zero.

Passo 6

Como o limite é um número finito diferente de zero e sabemos que a série comparativa converge, pelo Critério da Comparação pelo Limite, a série original também converge.

Resposta

A série converge pelo Critério da Comparação pelo Limite.

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