Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que analisar se a série infinita
converge ou não. Para isso, vamos usar o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite. Esses critérios ajudam a comparar a série dada com outra série cujo comportamento já conhecemos.
Passo 2
Vamos começar observando a função
. Quando
fica bem grande,
fica bem pequeno. Sabemos que, para valores pequenos de
,
. Então, podemos aproximar:
Isso nos ajuda a simplificar a expressão da série.
Passo 3
Substituindo a aproximação na série original, temos:
Agora, nossa série se parece com
.
Passo 4
Sabemos que a série
converge se
. No nosso caso,
, que é maior que 1. Portanto, a série
converge.
Passo 5
Agora, vamos aplicar o Critério da Comparação pelo Limite. Calculamos o limite:
Como
, temos:
O limite é finito e diferente de zero.
Passo 6
Como o limite é um número finito diferente de zero e sabemos que a série comparativa
converge, pelo Critério da Comparação pelo Limite, a série original
também converge.
Resposta
A série
converge pelo Critério da Comparação pelo Limite.