Use o Critério da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a natureza das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 3^{n}}\

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\,3^{n}}
e pede para determinar sua natureza (convergência ou divergência) usando o Critério da Comparação ou Comparação no Limite. O conteúdo aqui é séries numéricas de termos positivos e vamos usar o Critério da Comparação Direta.

Passo 2

O Critério da Comparação Direta diz que, se temos duas sequências não negativas (a_n) e (b_n) tais que, para todo n\ge1,
0 \le a_n \le b_n,
e se \sum b_n converge, então \sum a_n também converge.

Passo 3

Tomemos
a_n = \frac{1}{n\,3^{n}} \quad\text{e}\quad b_n = \frac{1}{3^{n}}.
Para todo n\ge1 vale
\frac{1}{n\,3^{n}} \le \frac{1}{3^{n}}.
Além disso, \sum_{n=1}^{\infty}\tfrac{1}{3^{n}} é uma série geométrica de razão r=\tfrac{1}{3}, logo converge.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\,3^{n}} converge.

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