Use o Critério da Raiz para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty e^n^2n^n

Passo 1

Vamos estudar a convergência da série sumn=1^infty e^n^2n^n utilizando o Critério da Raiz. Esse critério nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge calculando a raiz enésima do termo geral da série e analisando o limite.

Passo 2

Primeiro, identificamos o termo geral da série, que é an = e^n^2n^n. Nosso objetivo é calcular o limite limn to infty raiz[n]|an|.

Passo 3

Aplicamos o Critério da Raiz:
raiz[n]an = raiz[n]e^n^2n^n = raiz[n]e^n^2raiz[n]n^n
Simplificando as raízes:
raiz[n]e^n^2 = e^n e raiz[n]n^n = n
Portanto:
raiz[n]an = e^nn

Passo 4

Agora, calculamos o limite:
limn to infty e^nn
Sabemos que e^n cresce exponencialmente, enquanto n cresce linearmente. Portanto, à medida que n aumenta, o numerador cresce muito mais rápido que o denominador, fazendo com que o limite seja infinito:
limn to infty e^nn = infty

Resposta

Como o limite obtido é infty, que é maior que 1, pelo Critério da Raiz a série sumn=1^infty e^n^2n^n diverge.

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